Bóg zespolony

Doktryna o Trójcy to jedna z największych trudności, z jaką zmagali się chrześcijanie na przestrzeni wieków. Ciężko ją zrozumieć, łatwo podważyć, jeszcze łatwiej nieświadomie popaść w herezję, używając słów niezbyt ostrożnie. Zdaje się ona być alogiczna i dodana na zasadzie "łatki" w miejscu, które tworzyło sprzeczność. Owa sprzeczność zdaje rodzić się z następujących twierdzeń:

1. Jest jeden Bóg. (Mk 12:29)
2.
a) Ojciec jest Bogiem. (J 6:27)
b) Syn jest Bogiem. (J 1:1)
c) Duch Święty jest Bogiem. (1Kor 2:10-11)
3.
a) Ojciec nie jest Synem i Syn nie jest Ojcem. (J 14:28)
b) Ojciec nie jest Duchem Świętym i Duch Święty nie jest Ojcem. (Iz 48:16)
c) Syn nie jest Duchem Świętym i Duch Święty nie jest Synem. (Dz 1:1-2)

Chrześcijanin, który chce, by jego wiara była w spójności z wierzeniami jego poprzedników, ma do wyboru dwie rzeczy: uzyskać logiczność tej doktryny poprzez usunięcie któregoś z punktów - np. osiągnąć tryteizm poprzez pominięcie pierwszego punktu, arianizm poprzez nieuznanie punktu drugiego (a właściwie 2b i 2c) czy jakąś formę modalizmu, odrzucając punkt trzeci - lub może przyjąć wszystkie te twierdzenia i zaakceptować ich nielogiczność. Pierwsza postawa nie wydaje się zbyt biblijna i historycznie spójna z wierzeniami ludzi, którzy poprzedzali nas w wierze i są teraz u Pana. Druga zaś stawia nas w niekomfortowej sytuacji bycia nielogicznymi, naiwnymi i pozbawionymi wszelkiej linii obrony.

Oczywiście odradzam wszystkim wybór pierwszej opcji: wszystkie te twierdzenia są dobrze udokumentowane w Biblii i to nie tylko na podstawie pojedynczych wersetów, których przykłady podałem w nawiasie. Nie chcę dziś jednak o tym pisać, ale zwrócić się do grupy osób, które wybrały drugą opcję i czują się źle z takim wyborem. I ja jestem w tej grupie i do niedawna miałem wrażenie, że doktryna o Trójcy jest właśnie taką łatką, którą mądre głowy przyszyły w miejscu, w którym Biblia zdaje się przeczyć samej sobie, co jednocześnie okrada Pismo z nieomylności i jego natchnienia przez samego Boga. Napiszę dziś o innej łatce - matematycznej - która, jak sobie dopiero później zdałem sprawę - jest bardziej naturalna niż oryginalny materiał.

Chodzi konkretnie o liczby zespolone - w szczególności zaś o podstawową ich jednostkę, tak zwaną jednostkę urojoną, oznaczaną poprzez i (niektórzy inżynierowie, zwłaszcza ci parający się elektryką, mogą znać ją pod postacią j). Jest to liczba o ciekawej, niespotykanej wśród liczb rzeczywistych, własności: i^2 = -1. Można zatem, w uproszczeniu, przyjąć, że i to pierwiastek kwadratowy z -1.

Jak wyobrażam sobie jej "wynalezienie" w XVIII wieku? Otóż, liczby rzeczywiste są dość dobrym zbiorem liczbowym i mają niemal wszystko, co matematycy chcieliby, żeby porządny zbiór liczbowy posiadał: można wprowadzić w nim dwa ładne działania - dodawanie i mnożenie - które są łączne, przemienne i rozdzielne (mnożenie względem dodawania); można wyszczególnić ich elementy neutralne (dodawania: 0, mnożenia: 1) oraz odwrotne (dla x rzeczywistego różnego od 0, 1/x jest liczbą odwrotną; w dodawaniu własność tę nazywamy byciem przeciwnym - dla x rzeczywistego -x jest liczbą przeciwną) i wszystko to mieści się w ramach tego jednego zbioru. Matematyka określiłaby zbiór liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem mianem ciała liczbowego. Jak się jednak okazuje, nie jest to ciało algebraicznie domknięte, co jest pierwszą rysą na honorze tych jakże przecież porządnych i dotychczas rzetelnych liczb. Co to oznacza?

W dużym uproszczeniu, jeśli weźmiemy sobie jakiś wielomian o współczynnikach będącymi właśnie liczbami rzeczywistymi, to okaże się, że nie każdy z nich posiada rozwiązanie i da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych. Bez zbędnych wyjaśnień, przykład:
W(x) = x^2 - 4
Jest to wielomian kwadratowy (gdyż najwyższa potęga przy iksie to 2), który posiada dwa rozwiązania: 2 i -2. Jeśli za x podstawimy 2, to W(2) = 0 oraz ten sam wynik otrzymamy, wstawiając za x drugie rozwiązanie: W(-2) = 0. To właśnie oznacza, że wielomian W posiada rozwiązania (wszystkie możliwe, swoją drogą - rozwiązań może być maksymalnie tyle, ile wynosi najwyższa potęga iksa) i pozwala zapisać W(x) w innej formie - iloczynu czynników liniowych:
W(x) = (x - 2)(x + 2)
Jeśli wymnożymy te nawiasy, to otrzymamy wyjściową formę tego wielomianu, jednak obecna postać interesuje nas bardziej, gdyż można z niej jasno odczytać miejsca zerowe: czyli iksy, w których W(x) się zeruje (w naszym przykładzie: 2 i -2, gdyż W(2) = W(-2) = 0).

Możemy jednak zbudować wielomian z liczb rzeczywistych, który nie będzie miał wśród nich żadnego rozwiązania. Przykład jest już klasyczny i nieprzypadkowy:
V(x) = x^2 + 1
Niezależnie, jaką liczbę rzeczywistą wymyślimy i wstawimy w miejsce iksa, nigdy nie otrzymamy wyniku V(x) = 0. To właśnie oznacza, że ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte i, jak się dopiero dużo później okazało, mniej użyteczne niż się zdaje. W tym miejscu wkracza Euler i stwierdza "wymyślmy zatem liczbę, która zeruje taki wielomian"* i... tak właśnie robi. Rozważał liczbę, którą nazwał urojoną, oznaczył jako i i dla której V(i) = 0, to znaczy: i^2 + 1 = 0, to jest i^2 = -1. Pozwala to zapisać wielomian V w formie iloczynu liniowych czynników:
V(x) = (x - i)(x + i)

Jednak nie to jest najważniejsze w związku z nowym wynalazkiem. Zaskakujące okazało się, że liczby rzeczywiste rozszerzone o koncepcję liczby urojonej nadal stanowiły porządne ciało liczbowe - ciało, które dziś znamy pod nazwą liczb zespolonych. Zespolonych, gdyż powstałych z zespolenia dotychczasowych liczb rzeczywistych z liczbami postaci bi, gdzie b jest liczbą rzeczywistą, a i - jednostką urojoną. Mamy zatem nowe, większe ciało liczb zespolonych postaci a + bi, których reprezentacja nie mieści się na osi i wymaga całej dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej do ich graficznego przedstawienia. Więcej, i załatało nie tylko problem wielomianu x^2 + 1, ale... wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych... a nawet... zespolonych!

Liczby zespolone pociągnęły za sobą cały szereg zmian i nie mam czasu, miejsca i wiedzy, by o wszystkim tu napisać, ale jedno jest pewne: liczby te tak samo łatwo się dodaje, mnoży i używa do wszelkich innych operacji, jak rzeczywistych, ale dają o wiele więcej ciekawych możliwości i własności dzięki "nienaturalnej" właściwości jednostki urojonej - bo co w naturze podniesione do kwadratu może dać taki wynik**? Owa "nienaturalność" ich powstania była czymś, co powodowało, że patrzyłem na nie właśnie jak na łatę - coś dodane sztucznie po to, żeby uzyskać jakiś pożądany efekt. Matematycy chcieli ciała algebraicznie domkniętego - więc dostali całą ich ciężarówkę kierowaną przez wynalazek urojony.

Wrażenie sztuczności i załatania sprawy straciłem dopiero po głębszym (choć wcale nie głębokim) zapoznaniu się z teorią ciał - gdzie okazało się, że podobne ciała można produkować niemal taśmowo za pomocą nieco innego podejścia. Dopiero wtedy zdałem sobie sprawę, że liczby zespolone są... zupełnie naturalne w zwykłym tego słowa znaczeniu i nie powstały jako łata, ale da się je znaleźć w całkiem prosty sposób. Postaram się ten sposób tu przedstawić, choć temat jedynie lekko przybliżę, gdyż jest rozległy. I nie będę używał zbyt dużo terminów matematycznych, bo nie o to tu teraz chodzi.

Wszystko zaczyna się od pierścienia - innej struktury algebraicznej, która jest nieco uboższa od ciała. W nim również można dodawać i mnożyć, istnieją elementy neutralne obu operacji, rozdzielność tych działań i liczby przeciwne, ale... nie ma liczb odwrotnych. Przykładowo można tak myśleć o liczbach całkowitych: ...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4... . Liczby te mają wszystko to, co liczby rzeczywiste, poza właśnie elementami odwrotnymi względem mnożenia, czyli np. brakuje 1/2 dla dwójki czy 1/5 dla piątki.

W ramach takiego pierścienia możemy wyróżnić podpierścień - jakiś wycinek pierścienia, który zachowuje wewnętrzną spójność ze wszystkimi działaniami. Idąc dalej z przykładem, niech będą to liczby całkowite podzielne przez 3, czyli ...-6, -3, 0, 3, 6, 9... . Dodając je i mnożąc, zawsze otrzymamy inne liczby podzielne przez 3. Tworzą one zatem podpierścień liczb całkowitych - oznaczmy je przez [3n]. Możemy teraz rozważyć klasy abstrakcji (przestrzeni ilorazowej): twory, na które podpierścień "dzieli" pierścień. Okazuje się, że podpierścień liczb całkowitych podzielnych przez 3 dzieli wszystkie liczby na trzy kategorie: liczby dzielące są na 3 bez reszty, dzielące się z resztą 1 i na takie, które w wyniku dzielenia z resztą dają reszty 2. Jak to działa? "Przesuwamy" nasz podpierścień [3n] o kolejne liczby całkowite:
...-6, -3, 0, 3, 6, 9... -- [3n] przesunięte o 0, czyli klasa 0 + [3n];
...-5, -2, 1, 4, 7, 10... -- [3n] przesunięte o 1, czyli klasa 1 + [3n];
...-4, -1, 2, 5, 8, 11... -- [3n] przesunięte o 2, czyli klasa 2 + [3n];
I teraz:
...-3, 0, 3, 6, 9, 12... -- [3n] przesunięte o 3, czyli klasa 3 + [3n], która... przecież jest taka sama jak 0 + [3n]! Podobnie:
...-2, 1, 4, 7, 10, 13... -- [3n] przesunięte o 4, czyli klasa 4 + [3n], która jest równa klasie 1 + [3n]...

Postępując tak dalej (i w obie strony, czyli również przesuwając pierścień liczbami ujemnymi), zobaczymy, że co trzecia liczba "przesuwa" pierścień w ten sam sposób. 0 działa jak 3, 6, 9, zaś 1 daje ten sam efekt co 4, 7, 10 i wreszcie 2 nie różni się w tym przesuwaniu od 5, 8, 11. Możemy zatem te liczby pogrupować - podzielić na trzy frakcje i w ramach tych frakcji je ze sobą utożsamić. Otrzymamy wtedy klasy abstrakcji:
0 + [3n] = {...-6, -3, 0, 3, 6, 9...}
1 + [3n] = {...-5, -2, 1, 4, 7, 10...}
2 + [3n] = {...-4, -1, 2, 5, 8, 11...}
Wszelkie inne klasy pokryją się z jedną już istniejących trzech. Możemy zatem teraz zamiast myśleć o zbiorach liczb, dla uproszczenia myśleć o 0, 1 i 2. I możemy pomijać w zapisie to "+ [3n]", a wtedy otrzymamy następujący zbiór klas abstrakcji: {0, 1, 2}. I to jest zaskakujący efekt naszych machinacji: owe liczby w pewien ciekawy sposób... stanowią ciało!

Jest tu dodawanie, odejmowanie, mnożenie i - uwaga - dzielenie (którego wcześniej brakowało z powodu braku elementów odwrotnych), ale zdefiniowane odpowiednio - uwzględniając skończoną liczbę elementów, którymi operujemy i jednocześnie mając na uwadze genezę ich pochodzenia. Wystarczy za każdym razem po dodaniu lub pomnożeniu liczb pamiętać, by zamiast wyniku zapisać resztę dzielenia przez 3:
1 + 2 = 0, bo 1 + 2 = 3, ale 3:3 = 1 r 0
2 + 2 = 1, bo 2 + 2 = 4, ale 4:3 = 1 r 1
2 * 2 = 1, bo 2 * 2 = 4, ale 4:3 = 1 r 1
1 * 2 = 2, bo 1 * 2 = 2, ale 2:3 = 0 r 2
etc.

Z pierścienia otrzymaliśmy w nietypowy (ale w pełni poprawny i "legalny") sposób strukturę bogatszą, ale "mniejszą" - ciało skończone liczb "modulo 3". Żeby teraz pokazać, jak w podobny sposób stworzyć jednostkę urojoną, musimy dobrać odpowiedni pierścień i następnie podzielić go na klasy abstrakcji. Weźmy sobie pierścień wielomianów o współczynnikach rzeczywistych (skoro problem z i zaczyna się w wielomianach, to niech wielomiany ten problem rozwiążą!) - twór, którego elementami są wielomiany, np.: (x + 1), (x^3 - 2x^2 + 4x - 11) czy (0.75x^5 + 1.3x^4 - x^3 + [pi]x - e) i które możemy dodawać, odejmować i mnożyć. Rozważmy teraz klasy wygenerowane przez nasz wcześniej omówiony wielomian V(x) = x^2 + 1. Tak jak wcześniej podpierścień [3n] podzielił nam liczby całkowite na liczby dające kolejne możliwe reszty z dzielenia przez 3 (czyli 0, 1 i 2), tak teraz podpierścień [V] (wielomiany podzielne przez V) podzieli wszystkie wielomiany ze względu na to, jaką dadzą resztę z dzielenia przez V. Ponieważ V jest wielomianem stopnia drugiego, to dzielenie przezeń da w wyniku resztę będącą co najwyżej stopnia pierwszego, czyli postaci bx + a, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.

Jednocześnie pamiętamy, że V symbolizuje tu niejako "0" - podobnie jak we wcześniejszym przykładzie trójkę utożsamiliśmy z zerem. Musimy zatem przy każdej operacji pamiętać, żeby x^2 + 1 zastępować przez 0. Czyli, innymi słowy, x^2 + 1 = 0. Albo... x^2 = -1... Czy to nie jest przypadkiem... definicja liczby urojonej...?

Ależ owszem. Dla przykładu:
Wielomian x^2 + x + 1 to w nowym ciele wielomian x, gdyż x^2 + x + 1 daje w wyniku dzielenia z resztą przez V właśnie x.
Wielomian x^2 + x + 2 to w nowym ciele wielomian x + 1, gdyż tyle właśnie wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez V.
Teraz: x * (x + 1) = x^2 + x, czyli: -1 + x
Podstawmy za x = i:
i * (i + 1) = -1 + i.
Wszystko się zgadza!

W tym miejscu skończę tę ciężką przeprawę przez matematykę. Było to tylko "liźnięcie" algebry - tej liniowej, jak i teorii ciał. Wszystko w ogólnikach i na skróty, żeby zmieścić jak najwięcej treści w najmniejszej przestrzeni, dlatego może być niezrozumiale***. Morał zaś jest taki: na około, z trudnościami, ale jednak - dowiedliśmy, że liczby urojone nie są "łatą" dla liczb rzeczywistych, ale są pełnoprawnym materiałem, który ma swoje logiczne podstawy. I podobnie jest, tak wierzę, z doktryną o Trójcy - doktryną, która wydaje się łatać sprzeczne na pierwszy rzut oka twierdzenia Biblii, ale w rzeczywistości jest naturalna w sensie jej powstania, ale nie zrozumienia.

Co to znaczy? Jej konstrukcja jest logiczna, tak jak konstrukcja ciał, ale nie jest prosta w wyobrażeniu jej sobie. Wszystkie te operacje na zbiorach były na wyższym poziomie abstrakcji niż nasze dotychczasowe rozumienie liczb. I tylko to pozwalało dojść nam do tak niezrozumiałych koncepcji jak liczba, której kwadrat jest ujemny. Zrozumienie Trójcy opiera się na rozróżnieniu istoty od osoby - wierzymy w jedną istotę Boga, który jest trój-osobowy. Wymaga to podejścia do tematu od innej strony - dotychczas być może nierozważanej (bo przecież chrześcijanie od dawna już nie lubią filozofii...) i całkowicie niezrozumiałej - bo jak jedna istota może "zawierać" w sobie więcej niż jedną osobę...? To nie jest konstrukcja, na którą napotykamy się w życiu codziennym. To raczej zaskakujący wniosek - wynik, który dziwi swoją niespotykaną własnością. Trój-osobowa istota to taka liczba, której kwadrat jest ujemny.

Zachęcam zatem do przestudiowania tematu Trójcy - doktryny, która nie jest łatwa i prosta, ale raczej łamiąca głowę niejednego teologa w historii. Temat być może będzie wymagał podejścia od zupełnie innej strony, ale niech nie będzie to zniechęcające (i wymuszające argument "niebiblijności") - Biblia może sama dostarczyć ciekawych rozwiązań, które pokażą, że ta czy inna "łata" jest z lepszego materiału niż "łatany" kawałek ubrania!



* Oczywiście to niekoniecznie historyczna prawda, ale właśnie takie wrażenie odniosłem po zapoznaniu się z liczbami zespolonymi :).

** O ile w naturze w ogóle można mówić o "podnoszeniu do kwadratu"...

*** W zasadzie ten post jest chyba za długi i być może nie potrzebował tak dokładnego omówienia tematu (choć to wcale nie jest dokładne umówienie...), ale skoro już napisałem, to przecież nie będę kasował :).