Implikacja to inaczej wynikanie. W matematyce również możemy mówić o implikacji i wtedy rozróżniamy implikację materialną i logiczną. Pierwsza z nich dotyczy zdań logicznych i to właśnie niej się dzisiaj przyjrzę. Głównie dlatego, że w Biblii znalazłem dosyć ciekawe jej użycie przez samego Jezusa i albo niepotrzebnie nadinterpretuję prosty tekst, albo Bóg puszcza oko do wierzących matematyków (i studentów matematyki!) :).
Najpierw jednak - krótki wstęp. Matematycy przez zdanie logiczne rozumieją to, co językoznawcy nazwaliby zdaniem twierdzącym, któremu da się przypisać wartość "prawda" lub "fałsz". Przykładami niech będą "Księżyc jest zrobiony z sera" - zdanie fałszywe i "Titanic zatonął w 1912 roku" - zdanie prawdziwe. "Czy księżyc jest zrobiony z sera?" i "Niepotrzebnie nakręcono film o Titanicu" nie są zdaniami logicznymi, gdyż pierwsze z nich jest pytaniem, zaś drugiemu nie możemy przypisać jednoznacznie wartości "prawda" lub "fałsz" (gdyż jest to kwestia subiektywnej opinii).
Możemy wziąć teraz kilka takich zdań logicznych i połączyć je spójnikiem logicznym (lub - uwaga - funktorem zdaniotwórczym) w jedno nowe zdanie logiczne, którego prawdziwość będzie zależała od rodzaju spójnika i od prawdziwości zdań składowych. Najczęściej rozważać będziemy spójniki dwuargumentowe, to jest takie, które łączą dwa zdania. Prostym przykładem takiego spójnika będzie "lub", które działa następująco: łącząc dwa zdania fałszywe, daje zdanie fałszywe, zaś w pozostałych przypadkach - zdanie prawdziwe. Oznacza się go w matematyce przez "v" lub "+", a powstałe zdanie nosi nazwę alternatywy. Spójnik "i", łącząc dwa zdania prawdziwe, daje zdanie prawdziwe, a w pozostałych przypadkach - zdanie fałszywe; oznaczamy go przez "^" lub "*", zaś powstałe zdanie nazywamy koniunkcją. Ważnym przykładem funktora zdaniotwórczego jednoargumentowego będzie zaprzeczenie, które dodaje na początku zdania "Nieprawda, że", negując w ten sposób jego prawdziwość (lub fałszywość). Zanegowane zdanie będziemy oznaczać przez "~".
Przydałoby się kilka przykładów. Użyję również zapisu symbolicznego, dlatego niech przez p i q będą rozumiane następujące zdania:
p = Księżyc jest zrobiony z sera.
q = Titanic zatonął w 1912 roku.
Ponadto, niech f(a) oznacza funkcję, która zdaniu a przyporządkowuje wartość 1 (prawdziwe) lub 0 (fałszywe). Wtedy:
p v q
Księżyc jest zrobiony z sera lub Titanic zatonął w 1912 roku.
f(p v q) = 1 (gdyż, co prawda f(p) = 0, ale f(q) = 1 i to wystarczy do prawdziwości całego zdania)
p ^ q
Księżyc jest zrobiony z sera i Titanic zatonął w 1912 roku.
f(p ^ q) = 0 (oba zdania składowe musiałyby być prawdziwe, a tak nie jest)
~p
Nieprawda, że księżyc jest zrobiony z sera. (lub: Księżyc nie jest zrobiony z sera)
f(~p) = 1 (gdyż f(p) = 0)
~p ^ q
Księżyc nie jest zrobiony z sera i Titanic zatonął w 1912 roku.
f(~p ^ q) = 1
~(p v ~q)
Nie jest prawdą, że księżyc jest zrobiony z sera lub Titanic nie zatonął w 1912 roku.
f(~(p v ~q)) = 1
Implikacja również jest funktorem zdaniotwórczym (dwuargumentowym) i sprawdza się jako pewnego rodzaju "spójnik" (językoznawcy mnie rozszarpią). Oznacza się ją przez "=>" - z użyciem zdań: p => q - i czyta "p implikuje q" lub "Z p wynika q" lub - najczęściej - "Jeśli p, to q". Zdanie p w tej konstrukcji nazywamy poprzednikiem, zaś q - następnikiem. Okazuje się ona ważna z kilku powodów. Na przykład, duża większość twierdzeń matematycznych ma konstrukcję implikacji, to znaczy wygląda mniej więcej tak: "Jeśli zachodzą takie-a-takie założenia, to wtedy dzieje się to-a-tamto". Najciekawsza jest jednak prawdziwość implikacji, gdyż ta - podobnie jak i pozostałych funktorów - nie zależy od sensu zdań składowych, ale tylko i wyłącznie od ich prawdziwości. Ponieważ implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy prawdziwy jest poprzednik implikacji, a następnik - fałszywy, to następujące zdania są - matematycznie rzecz biorąc - prawdziwe:
Jeśli księżyc nie jest zrobiony z sera, to Titanic zatonął w 1912 roku. (1 => 1)
Jeśli księżyc jest zrobiony z sera, to Titanic zatonął w 1912 roku. (0 => 1)
Jeśli księżyc jest zrobiony z sera, to Titanic nie zatonął w 1912 roku. (0 => 0)
Zaś to jest fałszywe:
Jeśli księżyc nie jest zrobiony z sera, to Titanic nie zatonął w 1912 roku. (1 => 0).
Ma to, o dziwo, swój sens: skoro poprzednik jest fałszywy, to nie obchodzi mnie, czy następnik jest prawdziwy czy nie - interesuje mnie jedynie przypadek, gdy poprzednik jest prawdziwy - wtedy wymagam, by i następnik był prawdziwy. Na tym właśnie polega konstrukcja "Jeśli..., to...". Zresztą, spójrzmy na bardziej intuicyjny przykład:
Jeśli osoba x jest mężczyzną, to jest człowiekiem.*
W przypadku, gdy x jest mężczyzną, to rzeczywiście jest również człowiekiem. A gdy x nie jest mężczyzną - czyli gdy poprzednik implikacji jest fałszywy? Czy kobiety automatycznie nie są ludźmi? Nie, dlatego zdanie:
Jeśli Kasia jest mężczyzną, to jest człowiekiem.
jest prawdziwe, choć brzmi dziwnie.
Za chwilę przejdziemy już do implikacji z Biblii, która mnie zaciekawiła. Najpierw jednak - ostatni przykład - nieprzypadkowy - który pozwoli nam się upewnić, że nie jesteśmy stronniczy względem tekstu Biblii. Rozważmy takie oto zdanie (złożone):
Kto zda test i pojedzie na wyjazd firmowy, ten będzie przyjęty do firmy.
Jan Kowalski właśnie takie słowa usłyszał od swojego hipotetycznego przyszłego szefa odnośnie swojego zatrudnienia w jego firmie. Zatem dla Jana zdanie to brzmi:
Jeśli zdam test i pojadę na wyjazd firmowy, to będę przyjęty do firmy.
Ma to już konstrukcję implikacji, którą potrafimy zapisać symbolicznie:
Z = Zdam test.
W = Pojadę na wyjazd firmowy.
P = Będę przyjęty do firmy.
(Z ^ W) => P
Wiemy również, że zaprzeczenie poprzednika tej implikacji nie oznacza koniecznie, że automatycznie następnik będzie fałszywy - to znaczy, że jeśli nie zdam testu lub nie pojadę na wyjazd firmowy, to od razu nie będę przyjęty do firmy:
~(Z ^ W) => ?P
~Z v ~W => ?P
Wyobraźmy sobie teraz, że szef dodaje następujące słowa:
...ale kto nie zda testu, ten nie będzie przyjęty do firmy.
"Ale" jest tutaj tym samym spójnikiem, co "i", jeśli patrzeć na to matematycznie. Mamy zatem następujące zdanie logiczne, które Jan może sobie powiedzieć:
Jeśli zdam test i pojadę na wyjazd firmowy, to będę przyjęty do firmy, ale jeśli nie zdam testu, to nie będę przyjęty do firmy.
[(Z ^ W) => P] ^ [~Z => ~P]
Mamy teraz do czynienia ze sporej wielkości koniunkcją, o której wiemy, że jest prawdziwa (bo tak powiedział Janowi szef), to znaczy:
f([(Z ^ W) => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
Zobaczmy, co się stanie, gdy Jan nie zda testu, to znaczy f(Z) = 0. Oznaczmy również przez 0 zdanie fałszywe, a przez 1 - prawdziwe:
f([(0 ^ W) => P] ^ [1 => ~P]) = 1
f([0 => P] ^ [1 => ~P]) = 1
f(1 ^ [1 => ~P]) = 1
f(1 => ~P) = 1
f(~P) = 1 (inaczej mielibyśmy f(1 => 0) = 1, a to nieprawda)
f(P) = 0
Okazało się, że wtedy Jan nie będzie przyjęty do firmy. Żaden szok, gdyż to właśnie powiedział szef: "...ale kto nie zda testu, ten nie będzie przyjęty do firmy". Co interesujące, na wynik nie miał wpływu wyjazd firmowy lub jego brak...
A teraz - co się stanie, gdy Jan nie pojedzie na wyjazd firmowy? Czyli gdy f(W) = 0?
f([(Z ^ 0) => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
f([0 => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
f(1 ^ [~Z => ~P]) = 1
f(~Z => ~P) = 1
Okazuje się, że niepojechanie na wyjazd firmowy... jeszcze o niczym nie zadecyduje - nie da się stąd stwierdzić prawdziwości P bez znajomości prawdziwości Z. Czy coś się zmieni, gdy Jan zda test (f(Z) = 1)?
f(~1=> ~P) = 1
f(0 => ~P) = 1
f(1) = 1
1 = 1
Nadal - nie! Zdanie testu, ale nie pojechanie na wyjazd firmowy ani nie przekreśliło przyjęcia Jana do firmy, ani nie zapewniło mu tam miejsca.
A teraz - Biblia:
Mk 16:
(16) Kto uwierzy i ochrzczony zostanie, będzie zbawiony, ale kto nie uwierzy, będzie potępiony.
Czyż nie jest to po prostu:
Jeśli uwierzę i zostanę ochrzczony, to będę zbawiony, ale jeśli nie uwierzę, to nie będę zbawiony.
czyli zdanie zupełnie analogiczne do powyżej analizowanego?
Skoro zatem Janowi niewyjechanie na wyjazd firmowy nie przekreśliło automatycznie przyjęcia do firmy, tak też niezostanie ochrzczonym nie przekreśla automatycznie zbawienia - wbrew temu, co głoszą niektóre wyznania chrześcijańskie. Świetnym tego przykładem może być Łotr na krzyżu obok Jezusa - któremu wiara (zdanie testu) poczytana została za wystarczający środek zbawienia, choć nie został on, z oczywistych powodów - ochrzczony (jakoś nie znalazł czasu na wyjazd firmowy).
Nie chcę jednak tu zniechęcać do chrztu i twierdzić, że jest zbędny - jest to dobra praktyka chrześcijańska o wielorakim znaczeniu i z pewnością każdy nowonarodzony człowiek powinien dać się ochrzcić. Jednak odmawianie zbawienia z całą pewnością tylko z powodu braku chrztu jest - jak widać - nieuzasadnione. Wolałbym raczej pokazać, że to wiara jest tym kluczowym elementem "bez którego nie można się Bogu podobać"**, zaś chrzest jest pierwszym krokiem w Kościele. Powyżej pokazałem zresztą, że niezależnie od wyjazdu firmowego, Jan nie będzie przyjęty do pracy, jeśli nie zda testu. Zatem niech ochrzczone, ale niewierzące osoby się otrząsną, gdyż, najwyraźniej, nie są zbawione (znów: wbrew temu, co mogły usłyszeć w swoich kościołach)...
Czy to nie jest dosyć ciekawy przykład implikacji materialnej w Piśmie Świętym?
* Ktoś spostrzegawczy mógłby zauważyć, że przecież temu wyrażeniu nie możemy przypisać jednoznacznie wartości "prawda" lub "fałsz" - a przynajmniej dopóki nie wiemy, kto jest osobą x. Zatem nie jest to zdanie logiczne. I słusznie - jest to funkcja logiczna (lub forma zdaniowa - albo predykat) :).
** Heb 11: (6) Bez wiary zaś
nie można podobać się Bogu; kto bowiem przystępuje do Boga, musi
uwierzyć, że On istnieje i że nagradza tych, którzy go szukają.
piątek, 22 listopada 2013
wtorek, 19 listopada 2013
Tradycja rozdwojona
Uznaję siebie za protestanta, co oznacza, że moim jedynym źródłem wiedzy o Bogu jest Tradycja Apostolska zapisana i przekazana kolejnym pokoleniom w Biblii. Nie uznaję tradycji ludzkich, przekazywanych ustnie i na zasadzie ogłaszania kolejnych porcji dogmatów, które powstawały na przestrzeni dziejów w odpowiedzi na nowe herezje. Takie postrzeganie Tradycji Apostolskiej ma swoje źródła w czasach Reformacji, gdy Kościół Rzymskokatolicki według pewnych jednostek za daleko odszedł od tego, czego nauczał Jeden, Święty, Powszechny Kościół Apostolski w pierwszych wiekach chrześcijaństwa. W efekcie postanowiono powrócić do źródeł - czyli do Tradycji, o której na pewno było wiadomo od niemal samego początku Kościoła, że jest nieskażona nauką ludzką - to jest tej zapisanej w Biblii.
Stanowisko to wydaje się rozsądne - trzymać się tego, co bardzo wcześnie ustalił Kościół i spisał w formie Nowego Testamentu. Na tej zasadzie - sola Scriptura - opiera się większość (jeśli nie wszystkie) wyznania protestanckie. Nie uznają one dogmatów i postanowień, które pojawiły się dużo później w historii Kościoła, co nie znaczy jednak, że ze wszystkimi się nie zgadzają - na przykład katolicki dogmat o Trójcy jest wspólny dla wszystkich chrześcijan (choć przeciwnicy idei Trójcy też nazywają siebie chrześcijanami, ale to temat na inną dyskusję). Wydawałoby się zatem, że protestanci rozwiązali już wszystkie problemy z herezjami w XVI-wiecznym Kościele i teraz nie mamy już żadnych wątpliwości, że do rozstrzygnięcia każdej kwestii wystarczy Biblia.
Pojawiają się jednak na naszej drodze co najmniej dwa problemy: mnogość protestanckich denominacji, z których każda twierdzi, że opiera się na Biblii i Biblii tylko i druga kwestia: ciągłość Kościoła na przestrzeni wieków.
Mnie jako protestantowi niejednokrotnie już zarzucono te dwie Wielkie Protestanckie Winy. Jak to jest, że jeden Duch Święty rzekomo pokierował ludźmi tak, aby powstało aż tyle odrębnych wyznań wiary? I co z ludźmi, którzy żyli przed 1517 rokiem, przed Reformacją, ale po pierwszych wiekach chrześcijaństwa, kiedy to, według niektórych protestantów, Kościół Katolicki był zwiedziony, a alternatywy nie było? Duch Święty opuścił Oblubienicę Chrystusa na dobre 1000 lat? W historii Kościoła jest jedna wielka dziura i nikt z tego okresu nie będzie zbawiony?
Istnieją próby odpowiedzi na te pytania - gorsze i lepsze. I mógłbym napisać tutaj o tym, że te 30 000 protestanckich denominacji da się zredukować do trzech, albo że w gruncie rzeczy liczą się rzeczy najważniejsze w danej teologii, a nie sprawy drugo- i trzeciorzędne, co sprawia, że wszyscy protestanci to z grubsza jedna rodzina. Mógłbym napisać, że ciągłość Kościoła nie polega na istnieniu jednej organizacji zbawczej przez cały okres od Jezusa do dziś, ale zdefiniować Kościół jako "zbiór wierzących ludzi", co sprawia, że zawsze istniał Kościół, ale w formie nieco bardziej abstrakcyjnej. Jednak nie będę się wgłębiał w te zagadnienia, ale chciałbym napisać parę słów o Tradycji pozabiblijnej (nie wywodzącej się bezpośrednio z Biblii, np. katolicki dogmat o Wniebowzięciu Maryi) i wskazać, na jakie problemy napotykają jej wyznawcy. Ostatecznie okaże się, że problemy protestantów dają się zredukować do tych samych kwestii, a więc okaże się, że Wielka Protestancka Wina spoczywa na nas wszystkich (co, oczywiście, jej nie usprawiedliwi, ale da pewne odpowiedzi na pewne pytania).
Trzeba rozpocząć od uświadomienia sobie, że w ogóle istnieją co najmniej dwie historyczne Tradycje pozabiblijne - katolicka oraz (często w Polsce zapominana) prawosławna. Kościół Prawosławny również powołuje się na Tradycję pozabiblijną, również zachowuje jej ciągłość od czasów Chrystusa (a przynajmniej tak twierdzi), ale, co najciekawsze, Tradycja prawosławna jest... inna niż katolicka. Wbrew temu, co sądzą niektórzy katolicy, teologia prawosławna to nie to samo, co katolicka minus Papież. Różnice doktrynalne jedynie kończą się na takich kwestiach, jak sprawy rozwodu czy zwierzchnika kościoła - ale naprawdę zaczynają się w rozumieniu grzechu, sensu śmierci krzyżowej czy postrzeganiu Kościoła właśnie. Okazuje się, że jeśli katolicy chcieliby zachować spójność nauczania swojego kościoła, to nie powinni uczęszczać na nabożeństwa prawosławne (i vice versa) - choć często spotykałem się z opinią, że "Kościół Prawosławny jest na tyle podobny do Katolickiego, że w razie czego wierni jednego kościoła mogliby chodzić do drugiego". Jest to tak samo usprawiedliwiona opinia, jak ta, że osoby nie uznające daru modlitwy na językach w dzisiejszych czasach mogą swobodnie uczęszczać na nabożeństwa Kościoła Zielonoświątkowego*.
Nagle problemem staje się ustalenie, który Kościół rzeczywiście przechowuje pełnię Tradycji Apostolskiej nieprzekazanej w Biblii - bo o ile możemy wyśledzić źródła obu teologii idąc od dziś w przeszłość, o tyle przejście w drugą stronę jest niemal niemożliwe po tym, gdy napotka się rozdwojenie w 1054 roku. Jeśli chcielibyśmy przejść od dnia Pięćdziesiątnicy od dziś, by odszukać Kościół Chrystusa (w sensie katolicko-prawosławnym, jeśli wiecie, o co mi chodzi), to po dojściu do Wielkiej Schizmy, jaka miała miejsce w tym roku w Kościele, tak naprawdę nie mamy żadnych obiektywnych narzędzi, by móc stwierdzić, w którą z tych dwóch stron "poszedł" Duch Święty. Rozsądzenie tej sprawy leży w przyjęciu z góry ustalonych założeń - np. rację ma biskup tego miasta, ale nie tamtego lub rację mają ci, ale nie tamci Ojcowie Kościoła. Innymi słowy, każdy może sam sobie dobrać "prawdę" na podstawie własnych przemyśleń i przekonań i na tej podstawie... "wybrać" sobie autorytet, któremu się podporządkuje. Jednocześnie, jeśli będzie chciał być w zgodzie z nauczaniem kościoła, który sobie wybierze, będzie musiał wierzyć, że ten drugi kościół historyczny jest w błędzie lub jest co najmniej niepełny.
Czy to podejście nie brzmi znajomo? Zarzucanie protestantom tworzenia kolejnej denominacji na podstawie własnych przekonań jest tym samym, co zapisywanie się do Kościoła Katolickiego lub Prawosławnego na podstawie... własnych przekonań. Przecież nikt nie uargumentuje, czemu jest katolikiem, a nie prawosławnym lub odwrotnie bez odwoływania się do własnych, subiektywnych opinii. Ba, lepiej, najczęściej (ale nie zawsze) katolik jest katolikiem a prawosławny prawosławnym tylko dlatego, że jego rodzice są tego wyznania. Oznacza to, że przynależność do właściwego Kościoła Chrystusowego jest kwestią szczęścia urodzenia się we właściwej rodzinie i w zasadzie oznacza, że ten drugi (niepełny) kościół jest jedną wielką dziurą na wyznaniowej mapie świata. Zupełnie taką samą dziurą, jak rzekoma dziura czasowa w historii Kościoła według protestantów.
Niestety wpadamy w ten sposób w jakąś formę relatywizmu - poglądu, że nie ma prawdy absolutnej i niezależnej od czegokolwiek. Biblia jednak nie tak przedstawia prawdę - jako zależną od subiektywnych opinii, przez co niewymagającą odpowiedzialności przez swoją niedostępność i nieuchwytność. To stoi w pewnej sprzeczności z akapitami powyżej, ale jednocześnie powyższe rozumowanie jest prawdziwe zawsze wtedy, gdy kościołów powołujących się na Tradycję pozabiblijną jest co najmniej dwa. A my w takiej właśnie sytuacji się znajdujemy.
Cóż zatem? Gdzie jest prawdziwy Kościół Chrystusa? Jeśli jest w Kościele Katolickim lub Prawosławnym, to Bóg za pewne pozostawił obiektywną metodą jego odnalezienia. A jeśli taka metoda istnieje, to prawdopodobnie da się ją zastosować do protestantyzmu, który przecież "wybiera" sobie wiarę na tej samej zasadzie. Jeśli zaś taka metoda nie istnieje - a tak właśnie myślę** - to pozostaje wierzyć, że kto ma uwierzyć i być w odpowiednim kościele, o tego osobiście zadba Duch Święty i taką osobę tam poprowadzi. Wtedy nie musimy się niczego obawiać, gdyż wszystko jest już w rękach Tego, który wie, co dla nas będzie najlepsze. I całe szczęście.
* Proszę mnie tu jednak źle nie zrozumieć - nie nawołuję tu do zamykania kościołów od środka ani do segregacji wyznaniowej - podkreślam po prostu rozmiar różnicy doktrynalnej. W rzeczywistości niech każdy uczęszcza na takie nabożeństwa, na jakie ma ochotę (ale tu zniechęcam od churchingu :)).
** Jeśli ktoś uważa, że zna taką metodę - rozsądzenia w obiektywny sposób, w którym z tych dwóch Kościołów historycznych: Katolickim czy Prawosławnym znajduje się pełnia Tradycji Apostolskiej biblijnej i pozabiblijnej, to proszę - niech da mi znać.
Stanowisko to wydaje się rozsądne - trzymać się tego, co bardzo wcześnie ustalił Kościół i spisał w formie Nowego Testamentu. Na tej zasadzie - sola Scriptura - opiera się większość (jeśli nie wszystkie) wyznania protestanckie. Nie uznają one dogmatów i postanowień, które pojawiły się dużo później w historii Kościoła, co nie znaczy jednak, że ze wszystkimi się nie zgadzają - na przykład katolicki dogmat o Trójcy jest wspólny dla wszystkich chrześcijan (choć przeciwnicy idei Trójcy też nazywają siebie chrześcijanami, ale to temat na inną dyskusję). Wydawałoby się zatem, że protestanci rozwiązali już wszystkie problemy z herezjami w XVI-wiecznym Kościele i teraz nie mamy już żadnych wątpliwości, że do rozstrzygnięcia każdej kwestii wystarczy Biblia.
Pojawiają się jednak na naszej drodze co najmniej dwa problemy: mnogość protestanckich denominacji, z których każda twierdzi, że opiera się na Biblii i Biblii tylko i druga kwestia: ciągłość Kościoła na przestrzeni wieków.
Mnie jako protestantowi niejednokrotnie już zarzucono te dwie Wielkie Protestanckie Winy. Jak to jest, że jeden Duch Święty rzekomo pokierował ludźmi tak, aby powstało aż tyle odrębnych wyznań wiary? I co z ludźmi, którzy żyli przed 1517 rokiem, przed Reformacją, ale po pierwszych wiekach chrześcijaństwa, kiedy to, według niektórych protestantów, Kościół Katolicki był zwiedziony, a alternatywy nie było? Duch Święty opuścił Oblubienicę Chrystusa na dobre 1000 lat? W historii Kościoła jest jedna wielka dziura i nikt z tego okresu nie będzie zbawiony?
Istnieją próby odpowiedzi na te pytania - gorsze i lepsze. I mógłbym napisać tutaj o tym, że te 30 000 protestanckich denominacji da się zredukować do trzech, albo że w gruncie rzeczy liczą się rzeczy najważniejsze w danej teologii, a nie sprawy drugo- i trzeciorzędne, co sprawia, że wszyscy protestanci to z grubsza jedna rodzina. Mógłbym napisać, że ciągłość Kościoła nie polega na istnieniu jednej organizacji zbawczej przez cały okres od Jezusa do dziś, ale zdefiniować Kościół jako "zbiór wierzących ludzi", co sprawia, że zawsze istniał Kościół, ale w formie nieco bardziej abstrakcyjnej. Jednak nie będę się wgłębiał w te zagadnienia, ale chciałbym napisać parę słów o Tradycji pozabiblijnej (nie wywodzącej się bezpośrednio z Biblii, np. katolicki dogmat o Wniebowzięciu Maryi) i wskazać, na jakie problemy napotykają jej wyznawcy. Ostatecznie okaże się, że problemy protestantów dają się zredukować do tych samych kwestii, a więc okaże się, że Wielka Protestancka Wina spoczywa na nas wszystkich (co, oczywiście, jej nie usprawiedliwi, ale da pewne odpowiedzi na pewne pytania).
Trzeba rozpocząć od uświadomienia sobie, że w ogóle istnieją co najmniej dwie historyczne Tradycje pozabiblijne - katolicka oraz (często w Polsce zapominana) prawosławna. Kościół Prawosławny również powołuje się na Tradycję pozabiblijną, również zachowuje jej ciągłość od czasów Chrystusa (a przynajmniej tak twierdzi), ale, co najciekawsze, Tradycja prawosławna jest... inna niż katolicka. Wbrew temu, co sądzą niektórzy katolicy, teologia prawosławna to nie to samo, co katolicka minus Papież. Różnice doktrynalne jedynie kończą się na takich kwestiach, jak sprawy rozwodu czy zwierzchnika kościoła - ale naprawdę zaczynają się w rozumieniu grzechu, sensu śmierci krzyżowej czy postrzeganiu Kościoła właśnie. Okazuje się, że jeśli katolicy chcieliby zachować spójność nauczania swojego kościoła, to nie powinni uczęszczać na nabożeństwa prawosławne (i vice versa) - choć często spotykałem się z opinią, że "Kościół Prawosławny jest na tyle podobny do Katolickiego, że w razie czego wierni jednego kościoła mogliby chodzić do drugiego". Jest to tak samo usprawiedliwiona opinia, jak ta, że osoby nie uznające daru modlitwy na językach w dzisiejszych czasach mogą swobodnie uczęszczać na nabożeństwa Kościoła Zielonoświątkowego*.
Nagle problemem staje się ustalenie, który Kościół rzeczywiście przechowuje pełnię Tradycji Apostolskiej nieprzekazanej w Biblii - bo o ile możemy wyśledzić źródła obu teologii idąc od dziś w przeszłość, o tyle przejście w drugą stronę jest niemal niemożliwe po tym, gdy napotka się rozdwojenie w 1054 roku. Jeśli chcielibyśmy przejść od dnia Pięćdziesiątnicy od dziś, by odszukać Kościół Chrystusa (w sensie katolicko-prawosławnym, jeśli wiecie, o co mi chodzi), to po dojściu do Wielkiej Schizmy, jaka miała miejsce w tym roku w Kościele, tak naprawdę nie mamy żadnych obiektywnych narzędzi, by móc stwierdzić, w którą z tych dwóch stron "poszedł" Duch Święty. Rozsądzenie tej sprawy leży w przyjęciu z góry ustalonych założeń - np. rację ma biskup tego miasta, ale nie tamtego lub rację mają ci, ale nie tamci Ojcowie Kościoła. Innymi słowy, każdy może sam sobie dobrać "prawdę" na podstawie własnych przemyśleń i przekonań i na tej podstawie... "wybrać" sobie autorytet, któremu się podporządkuje. Jednocześnie, jeśli będzie chciał być w zgodzie z nauczaniem kościoła, który sobie wybierze, będzie musiał wierzyć, że ten drugi kościół historyczny jest w błędzie lub jest co najmniej niepełny.
Czy to podejście nie brzmi znajomo? Zarzucanie protestantom tworzenia kolejnej denominacji na podstawie własnych przekonań jest tym samym, co zapisywanie się do Kościoła Katolickiego lub Prawosławnego na podstawie... własnych przekonań. Przecież nikt nie uargumentuje, czemu jest katolikiem, a nie prawosławnym lub odwrotnie bez odwoływania się do własnych, subiektywnych opinii. Ba, lepiej, najczęściej (ale nie zawsze) katolik jest katolikiem a prawosławny prawosławnym tylko dlatego, że jego rodzice są tego wyznania. Oznacza to, że przynależność do właściwego Kościoła Chrystusowego jest kwestią szczęścia urodzenia się we właściwej rodzinie i w zasadzie oznacza, że ten drugi (niepełny) kościół jest jedną wielką dziurą na wyznaniowej mapie świata. Zupełnie taką samą dziurą, jak rzekoma dziura czasowa w historii Kościoła według protestantów.
Niestety wpadamy w ten sposób w jakąś formę relatywizmu - poglądu, że nie ma prawdy absolutnej i niezależnej od czegokolwiek. Biblia jednak nie tak przedstawia prawdę - jako zależną od subiektywnych opinii, przez co niewymagającą odpowiedzialności przez swoją niedostępność i nieuchwytność. To stoi w pewnej sprzeczności z akapitami powyżej, ale jednocześnie powyższe rozumowanie jest prawdziwe zawsze wtedy, gdy kościołów powołujących się na Tradycję pozabiblijną jest co najmniej dwa. A my w takiej właśnie sytuacji się znajdujemy.
Cóż zatem? Gdzie jest prawdziwy Kościół Chrystusa? Jeśli jest w Kościele Katolickim lub Prawosławnym, to Bóg za pewne pozostawił obiektywną metodą jego odnalezienia. A jeśli taka metoda istnieje, to prawdopodobnie da się ją zastosować do protestantyzmu, który przecież "wybiera" sobie wiarę na tej samej zasadzie. Jeśli zaś taka metoda nie istnieje - a tak właśnie myślę** - to pozostaje wierzyć, że kto ma uwierzyć i być w odpowiednim kościele, o tego osobiście zadba Duch Święty i taką osobę tam poprowadzi. Wtedy nie musimy się niczego obawiać, gdyż wszystko jest już w rękach Tego, który wie, co dla nas będzie najlepsze. I całe szczęście.
* Proszę mnie tu jednak źle nie zrozumieć - nie nawołuję tu do zamykania kościołów od środka ani do segregacji wyznaniowej - podkreślam po prostu rozmiar różnicy doktrynalnej. W rzeczywistości niech każdy uczęszcza na takie nabożeństwa, na jakie ma ochotę (ale tu zniechęcam od churchingu :)).
** Jeśli ktoś uważa, że zna taką metodę - rozsądzenia w obiektywny sposób, w którym z tych dwóch Kościołów historycznych: Katolickim czy Prawosławnym znajduje się pełnia Tradycji Apostolskiej biblijnej i pozabiblijnej, to proszę - niech da mi znać.
niedziela, 10 listopada 2013
Bóg zespolony
Doktryna o Trójcy to jedna z największych trudności, z jaką zmagali się chrześcijanie na przestrzeni wieków. Ciężko ją zrozumieć, łatwo podważyć, jeszcze łatwiej nieświadomie popaść w herezję, używając słów niezbyt ostrożnie. Zdaje się ona być alogiczna i dodana na zasadzie "łatki" w miejscu, które tworzyło sprzeczność. Owa sprzeczność zdaje rodzić się z następujących twierdzeń:
1. Jest jeden Bóg. (Mk 12:29)
2.
a) Ojciec jest Bogiem. (J 6:27)
b) Syn jest Bogiem. (J 1:1)
c) Duch Święty jest Bogiem. (1Kor 2:10-11)
3.
a) Ojciec nie jest Synem i Syn nie jest Ojcem. (J 14:28)
b) Ojciec nie jest Duchem Świętym i Duch Święty nie jest Ojcem. (Iz 48:16)
c) Syn nie jest Duchem Świętym i Duch Święty nie jest Synem. (Dz 1:1-2)
Chrześcijanin, który chce, by jego wiara była w spójności z wierzeniami jego poprzedników, ma do wyboru dwie rzeczy: uzyskać logiczność tej doktryny poprzez usunięcie któregoś z punktów - np. osiągnąć tryteizm poprzez pominięcie pierwszego punktu, arianizm poprzez nieuznanie punktu drugiego (a właściwie 2b i 2c) czy jakąś formę modalizmu, odrzucając punkt trzeci - lub może przyjąć wszystkie te twierdzenia i zaakceptować ich nielogiczność. Pierwsza postawa nie wydaje się zbyt biblijna i historycznie spójna z wierzeniami ludzi, którzy poprzedzali nas w wierze i są teraz u Pana. Druga zaś stawia nas w niekomfortowej sytuacji bycia nielogicznymi, naiwnymi i pozbawionymi wszelkiej linii obrony.
Oczywiście odradzam wszystkim wybór pierwszej opcji: wszystkie te twierdzenia są dobrze udokumentowane w Biblii i to nie tylko na podstawie pojedynczych wersetów, których przykłady podałem w nawiasie. Nie chcę dziś jednak o tym pisać, ale zwrócić się do grupy osób, które wybrały drugą opcję i czują się źle z takim wyborem. I ja jestem w tej grupie i do niedawna miałem wrażenie, że doktryna o Trójcy jest właśnie taką łatką, którą mądre głowy przyszyły w miejscu, w którym Biblia zdaje się przeczyć samej sobie, co jednocześnie okrada Pismo z nieomylności i jego natchnienia przez samego Boga. Napiszę dziś o innej łatce - matematycznej - która, jak sobie dopiero później zdałem sprawę - jest bardziej naturalna niż oryginalny materiał.
Chodzi konkretnie o liczby zespolone - w szczególności zaś o podstawową ich jednostkę, tak zwaną jednostkę urojoną, oznaczaną poprzez i (niektórzy inżynierowie, zwłaszcza ci parający się elektryką, mogą znać ją pod postacią j). Jest to liczba o ciekawej, niespotykanej wśród liczb rzeczywistych, własności: i^2 = -1. Można zatem, w uproszczeniu, przyjąć, że i to pierwiastek kwadratowy z -1.
Jak wyobrażam sobie jej "wynalezienie" w XVIII wieku? Otóż, liczby rzeczywiste są dość dobrym zbiorem liczbowym i mają niemal wszystko, co matematycy chcieliby, żeby porządny zbiór liczbowy posiadał: można wprowadzić w nim dwa ładne działania - dodawanie i mnożenie - które są łączne, przemienne i rozdzielne (mnożenie względem dodawania); można wyszczególnić ich elementy neutralne (dodawania: 0, mnożenia: 1) oraz odwrotne (dla x rzeczywistego różnego od 0, 1/x jest liczbą odwrotną; w dodawaniu własność tę nazywamy byciem przeciwnym - dla x rzeczywistego -x jest liczbą przeciwną) i wszystko to mieści się w ramach tego jednego zbioru. Matematyka określiłaby zbiór liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem mianem ciała liczbowego. Jak się jednak okazuje, nie jest to ciało algebraicznie domknięte, co jest pierwszą rysą na honorze tych jakże przecież porządnych i dotychczas rzetelnych liczb. Co to oznacza?
W dużym uproszczeniu, jeśli weźmiemy sobie jakiś wielomian o współczynnikach będącymi właśnie liczbami rzeczywistymi, to okaże się, że nie każdy z nich posiada rozwiązanie i da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych. Bez zbędnych wyjaśnień, przykład:
W(x) = x^2 - 4
Jest to wielomian kwadratowy (gdyż najwyższa potęga przy iksie to 2), który posiada dwa rozwiązania: 2 i -2. Jeśli za x podstawimy 2, to W(2) = 0 oraz ten sam wynik otrzymamy, wstawiając za x drugie rozwiązanie: W(-2) = 0. To właśnie oznacza, że wielomian W posiada rozwiązania (wszystkie możliwe, swoją drogą - rozwiązań może być maksymalnie tyle, ile wynosi najwyższa potęga iksa) i pozwala zapisać W(x) w innej formie - iloczynu czynników liniowych:
W(x) = (x - 2)(x + 2)
Jeśli wymnożymy te nawiasy, to otrzymamy wyjściową formę tego wielomianu, jednak obecna postać interesuje nas bardziej, gdyż można z niej jasno odczytać miejsca zerowe: czyli iksy, w których W(x) się zeruje (w naszym przykładzie: 2 i -2, gdyż W(2) = W(-2) = 0).
Możemy jednak zbudować wielomian z liczb rzeczywistych, który nie będzie miał wśród nich żadnego rozwiązania. Przykład jest już klasyczny i nieprzypadkowy:
V(x) = x^2 + 1
Niezależnie, jaką liczbę rzeczywistą wymyślimy i wstawimy w miejsce iksa, nigdy nie otrzymamy wyniku V(x) = 0. To właśnie oznacza, że ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte i, jak się dopiero dużo później okazało, mniej użyteczne niż się zdaje. W tym miejscu wkracza Euler i stwierdza "wymyślmy zatem liczbę, która zeruje taki wielomian"* i... tak właśnie robi. Rozważał liczbę, którą nazwał urojoną, oznaczył jako i i dla której V(i) = 0, to znaczy: i^2 + 1 = 0, to jest i^2 = -1. Pozwala to zapisać wielomian V w formie iloczynu liniowych czynników:
V(x) = (x - i)(x + i)
Jednak nie to jest najważniejsze w związku z nowym wynalazkiem. Zaskakujące okazało się, że liczby rzeczywiste rozszerzone o koncepcję liczby urojonej nadal stanowiły porządne ciało liczbowe - ciało, które dziś znamy pod nazwą liczb zespolonych. Zespolonych, gdyż powstałych z zespolenia dotychczasowych liczb rzeczywistych z liczbami postaci bi, gdzie b jest liczbą rzeczywistą, a i - jednostką urojoną. Mamy zatem nowe, większe ciało liczb zespolonych postaci a + bi, których reprezentacja nie mieści się na osi i wymaga całej dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej do ich graficznego przedstawienia. Więcej, i załatało nie tylko problem wielomianu x^2 + 1, ale... wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych... a nawet... zespolonych!
Liczby zespolone pociągnęły za sobą cały szereg zmian i nie mam czasu, miejsca i wiedzy, by o wszystkim tu napisać, ale jedno jest pewne: liczby te tak samo łatwo się dodaje, mnoży i używa do wszelkich innych operacji, jak rzeczywistych, ale dają o wiele więcej ciekawych możliwości i własności dzięki "nienaturalnej" właściwości jednostki urojonej - bo co w naturze podniesione do kwadratu może dać taki wynik**? Owa "nienaturalność" ich powstania była czymś, co powodowało, że patrzyłem na nie właśnie jak na łatę - coś dodane sztucznie po to, żeby uzyskać jakiś pożądany efekt. Matematycy chcieli ciała algebraicznie domkniętego - więc dostali całą ich ciężarówkę kierowaną przez wynalazek urojony.
Wrażenie sztuczności i załatania sprawy straciłem dopiero po głębszym (choć wcale nie głębokim) zapoznaniu się z teorią ciał - gdzie okazało się, że podobne ciała można produkować niemal taśmowo za pomocą nieco innego podejścia. Dopiero wtedy zdałem sobie sprawę, że liczby zespolone są... zupełnie naturalne w zwykłym tego słowa znaczeniu i nie powstały jako łata, ale da się je znaleźć w całkiem prosty sposób. Postaram się ten sposób tu przedstawić, choć temat jedynie lekko przybliżę, gdyż jest rozległy. I nie będę używał zbyt dużo terminów matematycznych, bo nie o to tu teraz chodzi.
Wszystko zaczyna się od pierścienia - innej struktury algebraicznej, która jest nieco uboższa od ciała. W nim również można dodawać i mnożyć, istnieją elementy neutralne obu operacji, rozdzielność tych działań i liczby przeciwne, ale... nie ma liczb odwrotnych. Przykładowo można tak myśleć o liczbach całkowitych: ...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4... . Liczby te mają wszystko to, co liczby rzeczywiste, poza właśnie elementami odwrotnymi względem mnożenia, czyli np. brakuje 1/2 dla dwójki czy 1/5 dla piątki.
W ramach takiego pierścienia możemy wyróżnić podpierścień - jakiś wycinek pierścienia, który zachowuje wewnętrzną spójność ze wszystkimi działaniami. Idąc dalej z przykładem, niech będą to liczby całkowite podzielne przez 3, czyli ...-6, -3, 0, 3, 6, 9... . Dodając je i mnożąc, zawsze otrzymamy inne liczby podzielne przez 3. Tworzą one zatem podpierścień liczb całkowitych - oznaczmy je przez [3n]. Możemy teraz rozważyć klasy abstrakcji (przestrzeni ilorazowej): twory, na które podpierścień "dzieli" pierścień. Okazuje się, że podpierścień liczb całkowitych podzielnych przez 3 dzieli wszystkie liczby na trzy kategorie: liczby dzielące są na 3 bez reszty, dzielące się z resztą 1 i na takie, które w wyniku dzielenia z resztą dają reszty 2. Jak to działa? "Przesuwamy" nasz podpierścień [3n] o kolejne liczby całkowite:
...-6, -3, 0, 3, 6, 9... -- [3n] przesunięte o 0, czyli klasa 0 + [3n];
...-5, -2, 1, 4, 7, 10... -- [3n] przesunięte o 1, czyli klasa 1 + [3n];
...-4, -1, 2, 5, 8, 11... -- [3n] przesunięte o 2, czyli klasa 2 + [3n];
I teraz:
...-3, 0, 3, 6, 9, 12... -- [3n] przesunięte o 3, czyli klasa 3 + [3n], która... przecież jest taka sama jak 0 + [3n]! Podobnie:
...-2, 1, 4, 7, 10, 13... -- [3n] przesunięte o 4, czyli klasa 4 + [3n], która jest równa klasie 1 + [3n]...
Postępując tak dalej (i w obie strony, czyli również przesuwając pierścień liczbami ujemnymi), zobaczymy, że co trzecia liczba "przesuwa" pierścień w ten sam sposób. 0 działa jak 3, 6, 9, zaś 1 daje ten sam efekt co 4, 7, 10 i wreszcie 2 nie różni się w tym przesuwaniu od 5, 8, 11. Możemy zatem te liczby pogrupować - podzielić na trzy frakcje i w ramach tych frakcji je ze sobą utożsamić. Otrzymamy wtedy klasy abstrakcji:
0 + [3n] = {...-6, -3, 0, 3, 6, 9...}
1 + [3n] = {...-5, -2, 1, 4, 7, 10...}
2 + [3n] = {...-4, -1, 2, 5, 8, 11...}
Wszelkie inne klasy pokryją się z jedną już istniejących trzech. Możemy zatem teraz zamiast myśleć o zbiorach liczb, dla uproszczenia myśleć o 0, 1 i 2. I możemy pomijać w zapisie to "+ [3n]", a wtedy otrzymamy następujący zbiór klas abstrakcji: {0, 1, 2}. I to jest zaskakujący efekt naszych machinacji: owe liczby w pewien ciekawy sposób... stanowią ciało!
Jest tu dodawanie, odejmowanie, mnożenie i - uwaga - dzielenie (którego wcześniej brakowało z powodu braku elementów odwrotnych), ale zdefiniowane odpowiednio - uwzględniając skończoną liczbę elementów, którymi operujemy i jednocześnie mając na uwadze genezę ich pochodzenia. Wystarczy za każdym razem po dodaniu lub pomnożeniu liczb pamiętać, by zamiast wyniku zapisać resztę dzielenia przez 3:
1 + 2 = 0, bo 1 + 2 = 3, ale 3:3 = 1 r 0
2 + 2 = 1, bo 2 + 2 = 4, ale 4:3 = 1 r 1
2 * 2 = 1, bo 2 * 2 = 4, ale 4:3 = 1 r 1
1 * 2 = 2, bo 1 * 2 = 2, ale 2:3 = 0 r 2
etc.
Z pierścienia otrzymaliśmy w nietypowy (ale w pełni poprawny i "legalny") sposób strukturę bogatszą, ale "mniejszą" - ciało skończone liczb "modulo 3". Żeby teraz pokazać, jak w podobny sposób stworzyć jednostkę urojoną, musimy dobrać odpowiedni pierścień i następnie podzielić go na klasy abstrakcji. Weźmy sobie pierścień wielomianów o współczynnikach rzeczywistych (skoro problem z i zaczyna się w wielomianach, to niech wielomiany ten problem rozwiążą!) - twór, którego elementami są wielomiany, np.: (x + 1), (x^3 - 2x^2 + 4x - 11) czy (0.75x^5 + 1.3x^4 - x^3 + [pi]x - e) i które możemy dodawać, odejmować i mnożyć. Rozważmy teraz klasy wygenerowane przez nasz wcześniej omówiony wielomian V(x) = x^2 + 1. Tak jak wcześniej podpierścień [3n] podzielił nam liczby całkowite na liczby dające kolejne możliwe reszty z dzielenia przez 3 (czyli 0, 1 i 2), tak teraz podpierścień [V] (wielomiany podzielne przez V) podzieli wszystkie wielomiany ze względu na to, jaką dadzą resztę z dzielenia przez V. Ponieważ V jest wielomianem stopnia drugiego, to dzielenie przezeń da w wyniku resztę będącą co najwyżej stopnia pierwszego, czyli postaci bx + a, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.
Jednocześnie pamiętamy, że V symbolizuje tu niejako "0" - podobnie jak we wcześniejszym przykładzie trójkę utożsamiliśmy z zerem. Musimy zatem przy każdej operacji pamiętać, żeby x^2 + 1 zastępować przez 0. Czyli, innymi słowy, x^2 + 1 = 0. Albo... x^2 = -1... Czy to nie jest przypadkiem... definicja liczby urojonej...?
Ależ owszem. Dla przykładu:
Wielomian x^2 + x + 1 to w nowym ciele wielomian x, gdyż x^2 + x + 1 daje w wyniku dzielenia z resztą przez V właśnie x.
Wielomian x^2 + x + 2 to w nowym ciele wielomian x + 1, gdyż tyle właśnie wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez V.
Teraz: x * (x + 1) = x^2 + x, czyli: -1 + x
Podstawmy za x = i:
i * (i + 1) = -1 + i.
Wszystko się zgadza!
W tym miejscu skończę tę ciężką przeprawę przez matematykę. Było to tylko "liźnięcie" algebry - tej liniowej, jak i teorii ciał. Wszystko w ogólnikach i na skróty, żeby zmieścić jak najwięcej treści w najmniejszej przestrzeni, dlatego może być niezrozumiale***. Morał zaś jest taki: na około, z trudnościami, ale jednak - dowiedliśmy, że liczby urojone nie są "łatą" dla liczb rzeczywistych, ale są pełnoprawnym materiałem, który ma swoje logiczne podstawy. I podobnie jest, tak wierzę, z doktryną o Trójcy - doktryną, która wydaje się łatać sprzeczne na pierwszy rzut oka twierdzenia Biblii, ale w rzeczywistości jest naturalna w sensie jej powstania, ale nie zrozumienia.
Co to znaczy? Jej konstrukcja jest logiczna, tak jak konstrukcja ciał, ale nie jest prosta w wyobrażeniu jej sobie. Wszystkie te operacje na zbiorach były na wyższym poziomie abstrakcji niż nasze dotychczasowe rozumienie liczb. I tylko to pozwalało dojść nam do tak niezrozumiałych koncepcji jak liczba, której kwadrat jest ujemny. Zrozumienie Trójcy opiera się na rozróżnieniu istoty od osoby - wierzymy w jedną istotę Boga, który jest trój-osobowy. Wymaga to podejścia do tematu od innej strony - dotychczas być może nierozważanej (bo przecież chrześcijanie od dawna już nie lubią filozofii...) i całkowicie niezrozumiałej - bo jak jedna istota może "zawierać" w sobie więcej niż jedną osobę...? To nie jest konstrukcja, na którą napotykamy się w życiu codziennym. To raczej zaskakujący wniosek - wynik, który dziwi swoją niespotykaną własnością. Trój-osobowa istota to taka liczba, której kwadrat jest ujemny.
Zachęcam zatem do przestudiowania tematu Trójcy - doktryny, która nie jest łatwa i prosta, ale raczej łamiąca głowę niejednego teologa w historii. Temat być może będzie wymagał podejścia od zupełnie innej strony, ale niech nie będzie to zniechęcające (i wymuszające argument "niebiblijności") - Biblia może sama dostarczyć ciekawych rozwiązań, które pokażą, że ta czy inna "łata" jest z lepszego materiału niż "łatany" kawałek ubrania!
* Oczywiście to niekoniecznie historyczna prawda, ale właśnie takie wrażenie odniosłem po zapoznaniu się z liczbami zespolonymi :).
** O ile w naturze w ogóle można mówić o "podnoszeniu do kwadratu"...
*** W zasadzie ten post jest chyba za długi i być może nie potrzebował tak dokładnego omówienia tematu (choć to wcale nie jest dokładne umówienie...), ale skoro już napisałem, to przecież nie będę kasował :).
1. Jest jeden Bóg. (Mk 12:29)
2.
a) Ojciec jest Bogiem. (J 6:27)
b) Syn jest Bogiem. (J 1:1)
c) Duch Święty jest Bogiem. (1Kor 2:10-11)
3.
a) Ojciec nie jest Synem i Syn nie jest Ojcem. (J 14:28)
b) Ojciec nie jest Duchem Świętym i Duch Święty nie jest Ojcem. (Iz 48:16)
c) Syn nie jest Duchem Świętym i Duch Święty nie jest Synem. (Dz 1:1-2)
Chrześcijanin, który chce, by jego wiara była w spójności z wierzeniami jego poprzedników, ma do wyboru dwie rzeczy: uzyskać logiczność tej doktryny poprzez usunięcie któregoś z punktów - np. osiągnąć tryteizm poprzez pominięcie pierwszego punktu, arianizm poprzez nieuznanie punktu drugiego (a właściwie 2b i 2c) czy jakąś formę modalizmu, odrzucając punkt trzeci - lub może przyjąć wszystkie te twierdzenia i zaakceptować ich nielogiczność. Pierwsza postawa nie wydaje się zbyt biblijna i historycznie spójna z wierzeniami ludzi, którzy poprzedzali nas w wierze i są teraz u Pana. Druga zaś stawia nas w niekomfortowej sytuacji bycia nielogicznymi, naiwnymi i pozbawionymi wszelkiej linii obrony.
Oczywiście odradzam wszystkim wybór pierwszej opcji: wszystkie te twierdzenia są dobrze udokumentowane w Biblii i to nie tylko na podstawie pojedynczych wersetów, których przykłady podałem w nawiasie. Nie chcę dziś jednak o tym pisać, ale zwrócić się do grupy osób, które wybrały drugą opcję i czują się źle z takim wyborem. I ja jestem w tej grupie i do niedawna miałem wrażenie, że doktryna o Trójcy jest właśnie taką łatką, którą mądre głowy przyszyły w miejscu, w którym Biblia zdaje się przeczyć samej sobie, co jednocześnie okrada Pismo z nieomylności i jego natchnienia przez samego Boga. Napiszę dziś o innej łatce - matematycznej - która, jak sobie dopiero później zdałem sprawę - jest bardziej naturalna niż oryginalny materiał.
Chodzi konkretnie o liczby zespolone - w szczególności zaś o podstawową ich jednostkę, tak zwaną jednostkę urojoną, oznaczaną poprzez i (niektórzy inżynierowie, zwłaszcza ci parający się elektryką, mogą znać ją pod postacią j). Jest to liczba o ciekawej, niespotykanej wśród liczb rzeczywistych, własności: i^2 = -1. Można zatem, w uproszczeniu, przyjąć, że i to pierwiastek kwadratowy z -1.
Jak wyobrażam sobie jej "wynalezienie" w XVIII wieku? Otóż, liczby rzeczywiste są dość dobrym zbiorem liczbowym i mają niemal wszystko, co matematycy chcieliby, żeby porządny zbiór liczbowy posiadał: można wprowadzić w nim dwa ładne działania - dodawanie i mnożenie - które są łączne, przemienne i rozdzielne (mnożenie względem dodawania); można wyszczególnić ich elementy neutralne (dodawania: 0, mnożenia: 1) oraz odwrotne (dla x rzeczywistego różnego od 0, 1/x jest liczbą odwrotną; w dodawaniu własność tę nazywamy byciem przeciwnym - dla x rzeczywistego -x jest liczbą przeciwną) i wszystko to mieści się w ramach tego jednego zbioru. Matematyka określiłaby zbiór liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem mianem ciała liczbowego. Jak się jednak okazuje, nie jest to ciało algebraicznie domknięte, co jest pierwszą rysą na honorze tych jakże przecież porządnych i dotychczas rzetelnych liczb. Co to oznacza?
W dużym uproszczeniu, jeśli weźmiemy sobie jakiś wielomian o współczynnikach będącymi właśnie liczbami rzeczywistymi, to okaże się, że nie każdy z nich posiada rozwiązanie i da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych. Bez zbędnych wyjaśnień, przykład:
W(x) = x^2 - 4
Jest to wielomian kwadratowy (gdyż najwyższa potęga przy iksie to 2), który posiada dwa rozwiązania: 2 i -2. Jeśli za x podstawimy 2, to W(2) = 0 oraz ten sam wynik otrzymamy, wstawiając za x drugie rozwiązanie: W(-2) = 0. To właśnie oznacza, że wielomian W posiada rozwiązania (wszystkie możliwe, swoją drogą - rozwiązań może być maksymalnie tyle, ile wynosi najwyższa potęga iksa) i pozwala zapisać W(x) w innej formie - iloczynu czynników liniowych:
W(x) = (x - 2)(x + 2)
Jeśli wymnożymy te nawiasy, to otrzymamy wyjściową formę tego wielomianu, jednak obecna postać interesuje nas bardziej, gdyż można z niej jasno odczytać miejsca zerowe: czyli iksy, w których W(x) się zeruje (w naszym przykładzie: 2 i -2, gdyż W(2) = W(-2) = 0).
Możemy jednak zbudować wielomian z liczb rzeczywistych, który nie będzie miał wśród nich żadnego rozwiązania. Przykład jest już klasyczny i nieprzypadkowy:
V(x) = x^2 + 1
Niezależnie, jaką liczbę rzeczywistą wymyślimy i wstawimy w miejsce iksa, nigdy nie otrzymamy wyniku V(x) = 0. To właśnie oznacza, że ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte i, jak się dopiero dużo później okazało, mniej użyteczne niż się zdaje. W tym miejscu wkracza Euler i stwierdza "wymyślmy zatem liczbę, która zeruje taki wielomian"* i... tak właśnie robi. Rozważał liczbę, którą nazwał urojoną, oznaczył jako i i dla której V(i) = 0, to znaczy: i^2 + 1 = 0, to jest i^2 = -1. Pozwala to zapisać wielomian V w formie iloczynu liniowych czynników:
V(x) = (x - i)(x + i)
Jednak nie to jest najważniejsze w związku z nowym wynalazkiem. Zaskakujące okazało się, że liczby rzeczywiste rozszerzone o koncepcję liczby urojonej nadal stanowiły porządne ciało liczbowe - ciało, które dziś znamy pod nazwą liczb zespolonych. Zespolonych, gdyż powstałych z zespolenia dotychczasowych liczb rzeczywistych z liczbami postaci bi, gdzie b jest liczbą rzeczywistą, a i - jednostką urojoną. Mamy zatem nowe, większe ciało liczb zespolonych postaci a + bi, których reprezentacja nie mieści się na osi i wymaga całej dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej do ich graficznego przedstawienia. Więcej, i załatało nie tylko problem wielomianu x^2 + 1, ale... wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych... a nawet... zespolonych!
Liczby zespolone pociągnęły za sobą cały szereg zmian i nie mam czasu, miejsca i wiedzy, by o wszystkim tu napisać, ale jedno jest pewne: liczby te tak samo łatwo się dodaje, mnoży i używa do wszelkich innych operacji, jak rzeczywistych, ale dają o wiele więcej ciekawych możliwości i własności dzięki "nienaturalnej" właściwości jednostki urojonej - bo co w naturze podniesione do kwadratu może dać taki wynik**? Owa "nienaturalność" ich powstania była czymś, co powodowało, że patrzyłem na nie właśnie jak na łatę - coś dodane sztucznie po to, żeby uzyskać jakiś pożądany efekt. Matematycy chcieli ciała algebraicznie domkniętego - więc dostali całą ich ciężarówkę kierowaną przez wynalazek urojony.
Wrażenie sztuczności i załatania sprawy straciłem dopiero po głębszym (choć wcale nie głębokim) zapoznaniu się z teorią ciał - gdzie okazało się, że podobne ciała można produkować niemal taśmowo za pomocą nieco innego podejścia. Dopiero wtedy zdałem sobie sprawę, że liczby zespolone są... zupełnie naturalne w zwykłym tego słowa znaczeniu i nie powstały jako łata, ale da się je znaleźć w całkiem prosty sposób. Postaram się ten sposób tu przedstawić, choć temat jedynie lekko przybliżę, gdyż jest rozległy. I nie będę używał zbyt dużo terminów matematycznych, bo nie o to tu teraz chodzi.
Wszystko zaczyna się od pierścienia - innej struktury algebraicznej, która jest nieco uboższa od ciała. W nim również można dodawać i mnożyć, istnieją elementy neutralne obu operacji, rozdzielność tych działań i liczby przeciwne, ale... nie ma liczb odwrotnych. Przykładowo można tak myśleć o liczbach całkowitych: ...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4... . Liczby te mają wszystko to, co liczby rzeczywiste, poza właśnie elementami odwrotnymi względem mnożenia, czyli np. brakuje 1/2 dla dwójki czy 1/5 dla piątki.
W ramach takiego pierścienia możemy wyróżnić podpierścień - jakiś wycinek pierścienia, który zachowuje wewnętrzną spójność ze wszystkimi działaniami. Idąc dalej z przykładem, niech będą to liczby całkowite podzielne przez 3, czyli ...-6, -3, 0, 3, 6, 9... . Dodając je i mnożąc, zawsze otrzymamy inne liczby podzielne przez 3. Tworzą one zatem podpierścień liczb całkowitych - oznaczmy je przez [3n]. Możemy teraz rozważyć klasy abstrakcji (przestrzeni ilorazowej): twory, na które podpierścień "dzieli" pierścień. Okazuje się, że podpierścień liczb całkowitych podzielnych przez 3 dzieli wszystkie liczby na trzy kategorie: liczby dzielące są na 3 bez reszty, dzielące się z resztą 1 i na takie, które w wyniku dzielenia z resztą dają reszty 2. Jak to działa? "Przesuwamy" nasz podpierścień [3n] o kolejne liczby całkowite:
...-6, -3, 0, 3, 6, 9... -- [3n] przesunięte o 0, czyli klasa 0 + [3n];
...-5, -2, 1, 4, 7, 10... -- [3n] przesunięte o 1, czyli klasa 1 + [3n];
...-4, -1, 2, 5, 8, 11... -- [3n] przesunięte o 2, czyli klasa 2 + [3n];
I teraz:
...-3, 0, 3, 6, 9, 12... -- [3n] przesunięte o 3, czyli klasa 3 + [3n], która... przecież jest taka sama jak 0 + [3n]! Podobnie:
...-2, 1, 4, 7, 10, 13... -- [3n] przesunięte o 4, czyli klasa 4 + [3n], która jest równa klasie 1 + [3n]...
Postępując tak dalej (i w obie strony, czyli również przesuwając pierścień liczbami ujemnymi), zobaczymy, że co trzecia liczba "przesuwa" pierścień w ten sam sposób. 0 działa jak 3, 6, 9, zaś 1 daje ten sam efekt co 4, 7, 10 i wreszcie 2 nie różni się w tym przesuwaniu od 5, 8, 11. Możemy zatem te liczby pogrupować - podzielić na trzy frakcje i w ramach tych frakcji je ze sobą utożsamić. Otrzymamy wtedy klasy abstrakcji:
0 + [3n] = {...-6, -3, 0, 3, 6, 9...}
1 + [3n] = {...-5, -2, 1, 4, 7, 10...}
2 + [3n] = {...-4, -1, 2, 5, 8, 11...}
Wszelkie inne klasy pokryją się z jedną już istniejących trzech. Możemy zatem teraz zamiast myśleć o zbiorach liczb, dla uproszczenia myśleć o 0, 1 i 2. I możemy pomijać w zapisie to "+ [3n]", a wtedy otrzymamy następujący zbiór klas abstrakcji: {0, 1, 2}. I to jest zaskakujący efekt naszych machinacji: owe liczby w pewien ciekawy sposób... stanowią ciało!
Jest tu dodawanie, odejmowanie, mnożenie i - uwaga - dzielenie (którego wcześniej brakowało z powodu braku elementów odwrotnych), ale zdefiniowane odpowiednio - uwzględniając skończoną liczbę elementów, którymi operujemy i jednocześnie mając na uwadze genezę ich pochodzenia. Wystarczy za każdym razem po dodaniu lub pomnożeniu liczb pamiętać, by zamiast wyniku zapisać resztę dzielenia przez 3:
1 + 2 = 0, bo 1 + 2 = 3, ale 3:3 = 1 r 0
2 + 2 = 1, bo 2 + 2 = 4, ale 4:3 = 1 r 1
2 * 2 = 1, bo 2 * 2 = 4, ale 4:3 = 1 r 1
1 * 2 = 2, bo 1 * 2 = 2, ale 2:3 = 0 r 2
etc.
Z pierścienia otrzymaliśmy w nietypowy (ale w pełni poprawny i "legalny") sposób strukturę bogatszą, ale "mniejszą" - ciało skończone liczb "modulo 3". Żeby teraz pokazać, jak w podobny sposób stworzyć jednostkę urojoną, musimy dobrać odpowiedni pierścień i następnie podzielić go na klasy abstrakcji. Weźmy sobie pierścień wielomianów o współczynnikach rzeczywistych (skoro problem z i zaczyna się w wielomianach, to niech wielomiany ten problem rozwiążą!) - twór, którego elementami są wielomiany, np.: (x + 1), (x^3 - 2x^2 + 4x - 11) czy (0.75x^5 + 1.3x^4 - x^3 + [pi]x - e) i które możemy dodawać, odejmować i mnożyć. Rozważmy teraz klasy wygenerowane przez nasz wcześniej omówiony wielomian V(x) = x^2 + 1. Tak jak wcześniej podpierścień [3n] podzielił nam liczby całkowite na liczby dające kolejne możliwe reszty z dzielenia przez 3 (czyli 0, 1 i 2), tak teraz podpierścień [V] (wielomiany podzielne przez V) podzieli wszystkie wielomiany ze względu na to, jaką dadzą resztę z dzielenia przez V. Ponieważ V jest wielomianem stopnia drugiego, to dzielenie przezeń da w wyniku resztę będącą co najwyżej stopnia pierwszego, czyli postaci bx + a, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.
Jednocześnie pamiętamy, że V symbolizuje tu niejako "0" - podobnie jak we wcześniejszym przykładzie trójkę utożsamiliśmy z zerem. Musimy zatem przy każdej operacji pamiętać, żeby x^2 + 1 zastępować przez 0. Czyli, innymi słowy, x^2 + 1 = 0. Albo... x^2 = -1... Czy to nie jest przypadkiem... definicja liczby urojonej...?
Ależ owszem. Dla przykładu:
Wielomian x^2 + x + 1 to w nowym ciele wielomian x, gdyż x^2 + x + 1 daje w wyniku dzielenia z resztą przez V właśnie x.
Wielomian x^2 + x + 2 to w nowym ciele wielomian x + 1, gdyż tyle właśnie wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez V.
Teraz: x * (x + 1) = x^2 + x, czyli: -1 + x
Podstawmy za x = i:
i * (i + 1) = -1 + i.
Wszystko się zgadza!
W tym miejscu skończę tę ciężką przeprawę przez matematykę. Było to tylko "liźnięcie" algebry - tej liniowej, jak i teorii ciał. Wszystko w ogólnikach i na skróty, żeby zmieścić jak najwięcej treści w najmniejszej przestrzeni, dlatego może być niezrozumiale***. Morał zaś jest taki: na około, z trudnościami, ale jednak - dowiedliśmy, że liczby urojone nie są "łatą" dla liczb rzeczywistych, ale są pełnoprawnym materiałem, który ma swoje logiczne podstawy. I podobnie jest, tak wierzę, z doktryną o Trójcy - doktryną, która wydaje się łatać sprzeczne na pierwszy rzut oka twierdzenia Biblii, ale w rzeczywistości jest naturalna w sensie jej powstania, ale nie zrozumienia.
Co to znaczy? Jej konstrukcja jest logiczna, tak jak konstrukcja ciał, ale nie jest prosta w wyobrażeniu jej sobie. Wszystkie te operacje na zbiorach były na wyższym poziomie abstrakcji niż nasze dotychczasowe rozumienie liczb. I tylko to pozwalało dojść nam do tak niezrozumiałych koncepcji jak liczba, której kwadrat jest ujemny. Zrozumienie Trójcy opiera się na rozróżnieniu istoty od osoby - wierzymy w jedną istotę Boga, który jest trój-osobowy. Wymaga to podejścia do tematu od innej strony - dotychczas być może nierozważanej (bo przecież chrześcijanie od dawna już nie lubią filozofii...) i całkowicie niezrozumiałej - bo jak jedna istota może "zawierać" w sobie więcej niż jedną osobę...? To nie jest konstrukcja, na którą napotykamy się w życiu codziennym. To raczej zaskakujący wniosek - wynik, który dziwi swoją niespotykaną własnością. Trój-osobowa istota to taka liczba, której kwadrat jest ujemny.
Zachęcam zatem do przestudiowania tematu Trójcy - doktryny, która nie jest łatwa i prosta, ale raczej łamiąca głowę niejednego teologa w historii. Temat być może będzie wymagał podejścia od zupełnie innej strony, ale niech nie będzie to zniechęcające (i wymuszające argument "niebiblijności") - Biblia może sama dostarczyć ciekawych rozwiązań, które pokażą, że ta czy inna "łata" jest z lepszego materiału niż "łatany" kawałek ubrania!
* Oczywiście to niekoniecznie historyczna prawda, ale właśnie takie wrażenie odniosłem po zapoznaniu się z liczbami zespolonymi :).
** O ile w naturze w ogóle można mówić o "podnoszeniu do kwadratu"...
*** W zasadzie ten post jest chyba za długi i być może nie potrzebował tak dokładnego omówienia tematu (choć to wcale nie jest dokładne umówienie...), ale skoro już napisałem, to przecież nie będę kasował :).
Subskrybuj:
Posty (Atom)