Ciekawa implikacja

Implikacja to inaczej wynikanie. W matematyce również możemy mówić o implikacji i wtedy rozróżniamy implikację materialną i logiczną. Pierwsza z nich dotyczy zdań logicznych i to właśnie niej się dzisiaj przyjrzę. Głównie dlatego, że w Biblii znalazłem dosyć ciekawe jej użycie przez samego Jezusa i albo niepotrzebnie nadinterpretuję prosty tekst, albo Bóg puszcza oko do wierzących matematyków (i studentów matematyki!) :).

Najpierw jednak - krótki wstęp. Matematycy przez zdanie logiczne rozumieją to, co językoznawcy nazwaliby zdaniem twierdzącym, któremu da się przypisać wartość "prawda" lub "fałsz". Przykładami niech będą "Księżyc jest zrobiony z sera" - zdanie fałszywe i "Titanic zatonął w 1912 roku" - zdanie prawdziwe. "Czy księżyc jest zrobiony z sera?" i "Niepotrzebnie nakręcono film o Titanicu" nie są zdaniami logicznymi, gdyż pierwsze z nich jest pytaniem, zaś drugiemu nie możemy przypisać jednoznacznie wartości "prawda" lub "fałsz" (gdyż jest to kwestia subiektywnej opinii).

Możemy wziąć teraz kilka takich zdań logicznych i połączyć je spójnikiem logicznym (lub - uwaga - funktorem zdaniotwórczym) w jedno nowe zdanie logiczne, którego prawdziwość będzie zależała od rodzaju spójnika i od prawdziwości zdań składowych. Najczęściej rozważać będziemy spójniki dwuargumentowe, to jest takie, które łączą dwa zdania. Prostym przykładem takiego spójnika będzie "lub", które działa następująco: łącząc dwa zdania fałszywe, daje zdanie fałszywe, zaś w pozostałych przypadkach - zdanie prawdziwe. Oznacza się go w matematyce przez "v" lub "+", a powstałe zdanie nosi nazwę alternatywy. Spójnik "i", łącząc dwa zdania prawdziwe, daje zdanie prawdziwe, a w pozostałych przypadkach - zdanie fałszywe; oznaczamy go przez "^" lub "*", zaś powstałe zdanie nazywamy koniunkcją. Ważnym przykładem funktora zdaniotwórczego jednoargumentowego będzie zaprzeczenie, które dodaje na początku zdania "Nieprawda, że", negując w ten sposób jego prawdziwość (lub fałszywość). Zanegowane zdanie będziemy oznaczać przez "~".

Przydałoby się kilka przykładów. Użyję również zapisu symbolicznego, dlatego niech przez p i q będą rozumiane następujące zdania:
p = Księżyc jest zrobiony z sera.
q = Titanic zatonął w 1912 roku.
Ponadto, niech f(a) oznacza funkcję, która zdaniu a przyporządkowuje wartość 1 (prawdziwe) lub 0 (fałszywe). Wtedy:

p v q
Księżyc jest zrobiony z sera lub Titanic zatonął w 1912 roku.
f(p v q) = 1 (gdyż, co prawda f(p) = 0, ale f(q) = 1 i to wystarczy do prawdziwości całego zdania)

p ^ q
Księżyc jest zrobiony z sera i Titanic zatonął w 1912 roku.
f(p ^ q) = 0 (oba zdania składowe musiałyby być prawdziwe, a tak nie jest)

~p
Nieprawda, że księżyc jest zrobiony z sera. (lub: Księżyc nie jest zrobiony z sera)
f(~p) = 1 (gdyż f(p) = 0)

~p ^ q
Księżyc nie jest zrobiony z sera i Titanic zatonął w 1912 roku.
f(~p ^ q) = 1

~(p v ~q)
Nie jest prawdą, że księżyc jest zrobiony z sera lub Titanic nie zatonął w 1912 roku.
f(~(p v ~q)) = 1

Implikacja również jest funktorem zdaniotwórczym (dwuargumentowym) i sprawdza się jako pewnego rodzaju "spójnik" (językoznawcy mnie rozszarpią). Oznacza się ją przez "=>" - z użyciem zdań: p => q - i czyta "p implikuje q" lub "Z p wynika q" lub - najczęściej - "Jeśli p, to q". Zdanie p w tej konstrukcji nazywamy poprzednikiem, zaś q - następnikiem. Okazuje się ona ważna z kilku powodów. Na przykład, duża większość twierdzeń matematycznych ma konstrukcję implikacji, to znaczy wygląda mniej więcej tak: "Jeśli zachodzą takie-a-takie założenia, to wtedy dzieje się to-a-tamto". Najciekawsza jest jednak prawdziwość implikacji, gdyż ta - podobnie jak i pozostałych funktorów - nie zależy od sensu zdań składowych, ale tylko i wyłącznie od ich prawdziwości. Ponieważ implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy prawdziwy jest poprzednik implikacji, a następnik - fałszywy, to następujące zdania są - matematycznie rzecz biorąc - prawdziwe:
Jeśli księżyc nie jest zrobiony z sera, to Titanic zatonął w 1912 roku. (1 => 1)
Jeśli księżyc jest zrobiony z sera, to Titanic zatonął w 1912 roku. (0 => 1)
Jeśli księżyc jest zrobiony z sera, to Titanic nie zatonął w 1912 roku. (0 => 0)
Zaś to jest fałszywe:
Jeśli księżyc nie jest zrobiony z sera, to Titanic nie zatonął w 1912 roku. (1 => 0).

Ma to, o dziwo, swój sens: skoro poprzednik jest fałszywy, to nie obchodzi mnie, czy następnik jest prawdziwy czy nie - interesuje mnie jedynie przypadek, gdy poprzednik jest prawdziwy - wtedy wymagam, by i następnik był prawdziwy. Na tym właśnie polega konstrukcja "Jeśli..., to...". Zresztą, spójrzmy na bardziej intuicyjny przykład:
Jeśli osoba x jest mężczyzną, to jest człowiekiem.*
W przypadku, gdy x jest mężczyzną, to rzeczywiście jest również człowiekiem. A gdy x nie jest mężczyzną - czyli gdy poprzednik implikacji jest fałszywy? Czy kobiety automatycznie nie są ludźmi? Nie, dlatego zdanie:
Jeśli Kasia jest mężczyzną, to jest człowiekiem.
jest prawdziwe, choć brzmi dziwnie.

Za chwilę przejdziemy już do implikacji z Biblii, która mnie zaciekawiła. Najpierw jednak - ostatni przykład - nieprzypadkowy - który pozwoli nam się upewnić, że nie jesteśmy stronniczy względem tekstu Biblii. Rozważmy takie oto zdanie (złożone):
Kto zda test i pojedzie na wyjazd firmowy, ten będzie przyjęty do firmy.
Jan Kowalski właśnie takie słowa usłyszał od swojego hipotetycznego przyszłego szefa odnośnie swojego zatrudnienia w jego firmie. Zatem dla Jana zdanie to brzmi:
Jeśli zdam test i pojadę na wyjazd firmowy, to będę przyjęty do firmy.
Ma to już konstrukcję implikacji, którą potrafimy zapisać symbolicznie:
Z = Zdam test.
W = Pojadę na wyjazd firmowy.
P = Będę przyjęty do firmy.

(Z ^ W) => P

Wiemy również, że zaprzeczenie poprzednika tej implikacji nie oznacza koniecznie, że automatycznie następnik będzie fałszywy - to znaczy, że jeśli nie zdam testu lub nie pojadę na wyjazd firmowy, to od razu nie będę przyjęty do firmy:
~(Z ^ W) => ?P
~Z v ~W => ?P
Wyobraźmy sobie teraz, że szef dodaje następujące słowa:
...ale kto nie zda testu, ten nie będzie przyjęty do firmy.
"Ale" jest tutaj tym samym spójnikiem, co "i", jeśli patrzeć na to matematycznie. Mamy zatem następujące zdanie logiczne, które Jan może sobie powiedzieć:
Jeśli zdam test i pojadę na wyjazd firmowy, to będę przyjęty do firmy, ale jeśli nie zdam testu, to nie będę przyjęty do firmy.
[(Z ^ W) => P] ^ [~Z => ~P]

Mamy teraz do czynienia ze sporej wielkości koniunkcją, o której wiemy, że jest prawdziwa (bo tak powiedział Janowi szef), to znaczy:
f([(Z ^ W) => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
Zobaczmy, co się stanie, gdy Jan nie zda testu, to znaczy f(Z) = 0. Oznaczmy również przez 0 zdanie fałszywe, a przez 1 - prawdziwe:
f([(0 ^ W) => P] ^ [1 => ~P]) = 1
f([0 => P] ^ [1 => ~P]) = 1
f(1 ^ [1 => ~P]) = 1
f(1 => ~P) = 1
f(~P) = 1 (inaczej mielibyśmy f(1 => 0) = 1, a to nieprawda)
f(P) = 0
Okazało się, że wtedy Jan nie będzie przyjęty do firmy. Żaden szok, gdyż to właśnie powiedział szef: "...ale kto nie zda testu, ten nie będzie przyjęty do firmy". Co interesujące, na wynik nie miał wpływu wyjazd firmowy lub jego brak...

A teraz - co się stanie, gdy Jan nie pojedzie na wyjazd firmowy? Czyli gdy f(W) = 0?
f([(Z ^ 0) => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
f([0 => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
f(1 ^ [~Z => ~P]) = 1
f(~Z => ~P) = 1
Okazuje się, że niepojechanie na wyjazd firmowy... jeszcze o niczym nie zadecyduje - nie da się stąd stwierdzić prawdziwości P bez znajomości prawdziwości Z. Czy coś się zmieni, gdy Jan zda test (f(Z) = 1)?
f(~1=> ~P) = 1
f(0 => ~P) = 1
f(1) = 1
1 = 1
Nadal - nie! Zdanie testu, ale nie pojechanie na wyjazd firmowy ani nie przekreśliło przyjęcia Jana do firmy, ani nie zapewniło mu tam miejsca.

A teraz - Biblia:
Mk 16: (16) Kto uwierzy i ochrzczony zostanie, będzie zbawiony, ale kto nie uwierzy, będzie potępiony.
Czyż nie jest to po prostu:
Jeśli uwierzę i zostanę ochrzczony, to będę zbawiony, ale jeśli nie uwierzę, to nie będę zbawiony.
czyli zdanie zupełnie analogiczne do powyżej analizowanego?

Skoro zatem Janowi niewyjechanie na wyjazd firmowy nie przekreśliło automatycznie przyjęcia do firmy, tak też niezostanie ochrzczonym nie przekreśla automatycznie zbawienia - wbrew temu, co głoszą niektóre wyznania chrześcijańskie. Świetnym tego przykładem może być Łotr na krzyżu obok Jezusa - któremu wiara (zdanie testu) poczytana została za wystarczający środek zbawienia, choć nie został on, z oczywistych powodów - ochrzczony (jakoś nie znalazł czasu na wyjazd firmowy).

Nie chcę jednak tu zniechęcać do chrztu i twierdzić, że jest zbędny - jest to dobra praktyka chrześcijańska o wielorakim znaczeniu i z pewnością każdy nowonarodzony człowiek powinien dać się ochrzcić. Jednak odmawianie zbawienia z całą pewnością tylko z powodu braku chrztu jest - jak widać - nieuzasadnione. Wolałbym raczej pokazać, że to wiara jest tym kluczowym elementem "bez którego nie można się Bogu podobać"**, zaś chrzest jest pierwszym krokiem w Kościele. Powyżej pokazałem zresztą, że niezależnie od wyjazdu firmowego, Jan nie będzie przyjęty do pracy, jeśli nie zda testu. Zatem niech ochrzczone, ale niewierzące osoby się otrząsną, gdyż, najwyraźniej, nie są zbawione (znów: wbrew temu, co mogły usłyszeć w swoich kościołach)...

Czy to nie jest dosyć ciekawy przykład implikacji materialnej w Piśmie Świętym?



* Ktoś spostrzegawczy mógłby zauważyć, że przecież temu wyrażeniu nie możemy przypisać jednoznacznie wartości "prawda" lub "fałsz" - a przynajmniej dopóki nie wiemy, kto jest osobą x. Zatem nie jest to zdanie logiczne. I słusznie - jest to funkcja logiczna (lub forma zdaniowa - albo predykat) :).

** Heb 11: (6) Bez wiary zaś nie można podobać się Bogu; kto bowiem przystępuje do Boga, musi uwierzyć, że On istnieje i że nagradza tych, którzy go szukają.