Niezupełność i niesprzeczność

Twierdzenie Gödla jest jednym z najważniejszych twierdzeń logiki matematycznej. Mówi ono o tzw. aksjomatyce Peano - czym jest aksjomat, pisałem dwa posty wcześniej. Aksjomatyka to uporządkowany system aksjomatów, zaś Giuseppe Peano to matematyk żyjący na przełomie XIX i XX wieku odpowiedzialny za, między innymi, aksjomatykę liczb naturalnych - czyli oczywistych rzeczy, jakie zachodzą między liczbami 0, 1, 2, 3, ... .

Twierdzenie Gödla, za pewne w uproszczeniu, mówi o tym, że dowolna aksjomatyka, która zawiera w sobie aksjomatykę Peano i nie ma w sobie sprzeczności, jest niezupełna. Niezupełna oznacza tutaj, że mając do dyspozycji wszystkie aksjomaty danego systemu, nie dowiedziemy z nich wszystkich zdań prawdziwych w owym systemie. Czyli istnieje dysproporcja między zdaniami dowodliwymi a zdaniami prawdziwymi.

Dowodliwość to cecha twierdzeń polegająca na tym, że w obrębie danej aksjomatyki istnieje dowód owego twierdzenia. Jego dowodliwość ma wpływ na jego prawdziwość, ale odwrotna relacja nie zachodzi - zdanie prawdziwe niekoniecznie musi być dowodliwe w ramach przyjętej aksjomatyki. Ilustracją niech będzie taki przykład: mamy do dyspozycji takie fakty:
(1) Adam jest starszy od Bartka
(2) Bartek jest starszy od Cezarego
(3) Dariusz jest starszy od Cezarego
Możemy dowieść, korzystając z przechodniości relacji porządku, że Adam jest starszy od Cezarego*, ale nie możemy stwierdzić, czy Dariusz jest starszy od Bartka czy Adama - a któreś z tych zdań lub ich zaprzeczeń musi być prawdziwe - może, na przykład, Dariusz jest starszy od Bartka, ale młodszy od Adama. Wtedy zdaniem prawdziwym byłoby Dariusz jest starszy od Bartka i młodszy od Adama, ale nie jest to zdanie dowodliwe w obrębie zdań (1) - (3) - czyli nie wynika to z danych nam informacji.

Gödel dowiódł, że zbiór zdań dowodliwych w niesprzecznym systemie akcjomatów nie pokrywa się ze zbiorem zdań faktycznie prawdziwych - tych pierwszych jest mniej niż drugich. Oznacza to, że możemy dowieść mniej na bazie pewnej grupy pewników (aksjomatów) niż w rzeczywistości zachodzi. Według mnie, całkiem podobnie jest z wiarą chrześcijańską, a szczególnie tą opartą o zasadę sola Scriptura - tylko Pismo. Jeśli potraktować Biblię jako aksjomatykę (mam nadzieję, że to nie herezja), to rzeczywiście możemy na jej podstawie dowieść wiele prawdziwych zdań (choć często różnych w różnych denominacjach ;)), jednak czy Biblia odpowiada na każde pytanie, jakie stawia chrześcijanin w swoim życiu? Wydaje mi się, że nie; mało wiemy o życiu po śmierci, czy jak będzie wyglądać i funkcjonować "Niebo"; mało wiemy o pochodzeniu zła; mało wiemy o czasach przed Potopem; tragicznie mało wiemy o wielu, wielu innych rzeczach. Na dobrą sprawę, nie znamy nawet siebie, nie mówiąc już o otaczającym nas świecie.

Dość jasno chyba ukazuje się tu zasadność twierdzenia Gödla - zbiór rzeczy, które o Bogu powiedzieć można (szeroko rozumiana "teologia") jest dalece mniejszy od zbioru rzeczy, które Bóg może powiedzieć o samym sobie. Nie twierdzę, że Bóg powiedział nam za mało - uważam, że powiedział nam wystarczająco i tyle, ile chciał. Wszystko, co wiemy, jest wystarczające, by oddać Mu chwałę i powierzyć Chrystusowi swoje życie. Wszelkie dodatkowe "gdybanie" jest... rzeczywiście gdybaniem. Jednocześnie, prawdopodobnie po śmierci, dowiemy się jeszcze ogromnej ilości innych faktów, które nie wynikają bezpośrednio z biblijnej aksjomatyki. Zresztą, podobną rzecz stwierdza Pismo:

1Kor 2: (6) My tedy głosimy mądrość wśród doskonałych, lecz nie mądrość tego świata ani władców tego świata, którzy giną; (7) ale głosimy mądrość Bożą tajemną, zakrytą, którą Bóg przed wiekami przeznaczył ku chwale naszej, (8) której żaden z władców tego świata nie poznał, bo gdyby poznali, nie byliby Pana chwały ukrzyżowali. (9) Głosimy tedy, jak napisano: Czego oko nie widziało i ucho nie słyszało, i co do serca ludzkiego nie wstąpiło, to przygotował Bóg tym, którzy go miłują.

Twierdzenie Gödla ma jeszcze jeden mały haczyk: słowo niesprzeczny. Okazuje się, że twierdzenie nie mówi, że każdy system aksjomatów jest niezupełny, ale dokładnie precyzuje, że chodzi o systemy niesprzeczne, czyli takie, które nie zawierają w sobie sprzeczności, to jest zdań wzajemnie wykluczających się. Przykład systemu aksjomatów, który jest sprzeczny:
(1) 1 < 2
(2) 2 < 3
(3) 3 < 1
Z (1) i (2) wynika, że 1 < 3, co stoi w sprzeczności z (3). Co by się zatem stało, gdybyśmy usunęli ten warunek z twierdzenia Gödla i pozwolili systemowi być sprzecznym?

Tu się objawia właśnie haczyk: nie uzyskamy wyłącznie wszystkich zdań prawdziwych danego systemu. Otrzymamy więcej zdań dowodliwych niż jest prawdziwych! Z przykładu powyżej - otrzymujemy co najmniej tyle zdań dowodliwych: 1 < 1, 1 < 2, 1 < 3, 2 < 1, 2 < 2, 2 < 3, 3 < 1, 3 < 2 i 3 < 3, czyli aż dziewięć zdań, z których zaledwie trzy są faktycznie prawdziwe: 1 < 2, 2 < 3 i 1 < 3! Owszem, udało nam się znaleźć zdania prawdziwe**, ale za jaką cenę - dostaliśmy ponadto dwa razy więcej zdań fałszywych. Co ciekawe, nigdy nie otrzymamy sytuacji przy takich założeniach, w której liczba zdań dowodliwych i prawdziwych jest równa - ot, taka cecha naszego zepsutego świata.

Możemy zatem przeformułować twierdzenie Gödla w taki sposób: dowolna aksjomatyka, która zawiera w sobie aksjomatykę Peano, jest niezupełna lub sprzeczna. By odnieść to na pole teologii, nieco odwrócę tu rozumowanie: nie zrozumiemy wszystkiego o Bogu na podstawie ograniczonej aksjomatyki, jaką jest Biblia, a jeśli ktoś twierdzi, że zna całą prawdę, to w niektórych kwestiach może akurat mieć rację, ale jego myślenie ma gdzieś sprzeczności i przynosi więcej szkód niż dobra. Wydaje mi się, że ten wniosek dość dobrze ujmuje dwie biblijne prawdy:

A. Bóg jest niezmierzony i nigdy nie wywnioskujemy o Nim nic więcej ponad to, co pozwoli nam o sobie powiedzieć:
Iz 55: (8) Bo myśli moje, to nie myśli wasze, a drogi wasze, to nie drogi moje - mówi Pan, (9) lecz jak niebiosa są wyższe niż ziemia, tak moje drogi są wyższe niż drogi wasze i myśli moje niż myśli wasze.
 
B. Ludzie, którzy budują teologię na gdybaniu, przynoszą więcej fałszu niż ewentualnej prawdy poprzez swoje sprzeczne doktryny:
2Tym 2: (16) A pospolitej, pustej mowy unikaj, bo ci, którzy się nią posługują, będą się pogrążali w coraz większą bezbożność, (17) a nauka ich szerzyć się będzie jak zgorzel; do nich należy Hymeneusz i Filetos, (18) którzy z drogi prawdy zboczyli, powiadając, że zmartwychwstanie już się dokonało, przez co podważają wiarę niektórych.

Tak właśnie widzę duchowe twierdzenie Gödla.



* Wbrew strasznej nazwie, przechodniość relacji porządku jest rzeczą dość oczywistą dla dużej większości ludzi. Otóż, skoro mamy: A > B i B > C, czyli A > B > C, to z tego jasno wynika, że A > C, prawda? Jeśli jeszcze dołożymy zdanie D > C, to nie wiemy, gdzie je wstawić w ciąg A > B > C, gdyż mamy za mało informacji - możliwe są takie zdania prawdziwe: A > B > D > C, A > D > B > C i D > A > B > C.

** W tym przypadku wszystkie zdania prawdziwe, czyli wbrew twierdzeniu Gödla, gdybyśmy usunęli punkt (3). To dlatego, że ten przykładowy system nie zawiera w sobie aksjomatyki Peano, o której pisałem na początku: dowolna aksjomatyka, która zawiera w sobie aksjomatykę Peano i nie ma w sobie sprzeczności, jest niezupełna.