Chrystus w nieskończoności

Fraza "w Chrystusie" pojawia się w Nowym Testamencie całkiem często. Oto jesteśmy:
- odkupieni
- żywi dla Boga
- bez potępienia
- jednym ciałem
- współpracownikami
- wypróbowani
- poświęceni
- rozumni
- zwycięscy
- wolni
- ubłogosławieni
właśnie w Chrystusie (a ta lista nie jest kompletna!*). Co więcej, następujące zdanie to chyba jedna z największych prawd biblijnych - a przynajmniej, według mnie, jedna z najpiękniejszych -  nic nie zdoła nas odłączyć od miłości Bożej, która jest w Chrystusie Jezusie, Panu naszym (Rz 8:39).

Tak też Biblia daje nam jasno do zrozumienia, że praktycznie całe nasze chrześcijańskie życie jest zanurzone w Chrystusie i w Nim oraz przez Niego wszystko się dzieje, co się dzieje. To z kolei oznacza, że Chrystus jest swoistym wyznacznikiem... w zasadzie wszystkiego. A już szczególnie jest nośnikiem naszego zbawienia i właśnie nasze zbawienie, uświęcenie, przyobleczenie się w nową naturę (i pozbycie się starej, grzesznej natury) odbywa się przez pryzmat Jezusa Chrystusa. Jeśli mielibyśmy użyć do takiego opisu języka matematyki, moglibyśmy pokusić się o stwierdzenie, że całe nasze chrześcijańskie życie jest rzutem stereograficznym ze starego życia do nowego z Jezusem jako środkiem tego rzutu.

Kwestia, czym jest taki rzut w matematyce, będzie lada moment rozwiązana. To, co mnie osobiście najbardziej dotyka w tym temacie, to fakt, że Chrystus w takim odwzorowaniu rzutuje sam siebie w... nieskończoność. A to z kolei ładnie podkreśla Jego Boską Osobę. I to jest właśnie powód, dla którego chciałbym się taką właśnie obserwacją podzielić - i stąd też wynika tytuł tego wpisu.

Zaczniemy od niezbędnych wyjaśnień. Na przykład - czym jest odwzorowanie? Jest to dobrze znane wszystkim ze szkoły pojęcie funkcji, jednak niekoniecznie takiej, jakie każdy kiedyś rysował w zeszycie. Ogólniej, funkcja to narzędzie, które działa na dwóch zbiorach - czasem bardzo abstrakcyjnych, a czasem, dla pokazania przykładu, iście przyziemnych - i to działanie polega na przyporządkowaniu każdemu elementowi z jednego zbioru dokładnie jednego elementu z drugiego zbioru (ale niekoniecznie vice versa). I teraz przyda się nam taki przyziemny przykład: niech A będzie zbiorem jabłek leżących na ziemi w sadzie, zaś B niech będzie zbiorem drzew w tym sadzie. Funkcja działa z jednego zbioru do drugiego i w tym działaniu ważna jest kolejność występowania tych zbiorów. Proponuję taką oto funkcję f, która działa z A do B (co zapisujemy tak: f: A --> B) w następujący sposób: każdemu jabłku leżącemu na ziemi przyporządkowuje drzewo, z którego to jabłko spadło (zakładamy, że w sadzie nie ma innych jabłek). Elementy zbioru A (tutaj: jabłka) nazywamy argumentami funkcji, zaś B (drzewa) - wartościami.

Jest to rzeczywiście odwzorowanie - każdemu jabłku z tego sadu możemy przyporządkować drzewo, z którego to jabłko spadło i, co ważne, każde jabłko spadło z dokładnie jednego drzewa - nie może się zdarzyć, że jedno jabłko spadło z dwóch drzew. Jednocześnie zwracam uwagę na to, że odwrotne przyporządkowanie nie ma już takiej cechy - z jednego drzewa mogło spaść więcej niż jedno jabłko albo nawet żadne - i to jest w porządku, to znaczy - nie "psuje" nam funkcji f.

W matematyce szczególnie ceni się funkcje, które spełniają dwa dodatkowe warunki - chcielibyśmy, żeby każdy element z pierwszego zbioru był przyporządkowany do unikalnego - swojego prywatnego - elementu z drugiego zbioru (czyli takiego, do którego żaden inny nie będzie przyporządkowany) oraz żeby każdy element z drugiego zbioru dostał jakiś swój element doń przyporządkowany. Pierwszy warunek oznacza różnowartościowość funkcji - czyli różnym argumentom funkcja przyporządkowuje różne wartości, zaś drugi, to zabrzmi dziwnie, że funkcja jest "na" - czyli do każdej wartości przyporządkowany jest jakiś argument. Funkcja, która spełnia oba te warunki jednocześnie, nosi miano funkcji wzajemnie jednoznacznej.**

Przykładem funkcji wzajemnie jednoznacznej niech będzie przyporządkowanie każdemu obywatelowi Polski jego numeru PESEL***. Każdy obywatel ma swój unikalny numer PESEL i jeśli jakiś numer PESEL jest w bazie danych, to istnieje jeden Polak o takim numerze (pomijamy przypadek śmierci jakiegoś posiadacza takiego numeru - wtedy zakładamy, że numer jest usuwany z bazy danych). Innym przykładem niech będzie pewna historyjka-anegdota, którą bardzo lubię przytaczać (i i tym razem nie omieszkam tego zrobić). Nie dość, że ukazuje ona funkcję wzajemnie jednoznaczną, to uczy jeszcze jednej rzeczy, ale o tym na końcu:
Na wielki bal została zaproszona nieskończona liczba gości. Każdy zaproszony gość był ponumerowany - mężczyźni kolejnymi liczbami naturalnymi, a więc: 1, 2, 3, ... , zaś kobiety - kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi, czyli 2, 4, 6, ... . Zbliżał się czas tańca i do gości wyszedł Zły Wodzirej. Powiedział do zebranych gości tak: "Niech teraz każdy mężczyzna znajdzie kobietę o takim samym numerze jaki on sam ma - będzie to jego para do tańca!". I tak też zrobili goście - pan numer 2 był w parze z panią numer 2, pan numer 4 z panią numer 4 i tak dalej. Ale oto bardzo duża grupa (nieskończona!) zaproszonych mężczyzn ostała się bez pary! Panowie o nieparzystych numerach, to jest - 1, 3, 5, ... nie mieli nikogo do pary, gdyż nie było pań o takich numerach! Wtedy do gości wyszedł Dobry Wodzirej i zaproponował rozwiązanie: "Niech teraz każdy mężczyzna znajdzie kobietę o numerze dwa razy większym od jego własnego numeru!". Tym razem pani numer 2 dobrała się w parę z panem numer 1, pani numer 4 - z panem numer 2, pani numer 6 z panem numer 3 i tak dalej. I oto okazało się, że każdy ma swoją parę - każdy pan ma dokładnie jedną partnerkę do tańca i każda partnerka ma dokładnie jednego partnera do tańca i nikt nie pozostał sam. I tak goście przetańczyli cały wieczór.
Zaiste, Dobry Wodzirej zastosował tu odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne i jednocześnie pokazał, że - w pewnym sensie - liczb naturalnych i liczb parzystych jest "tyle samo"...!

Wracając teraz do głównego tematu, chciałbym pokazać ciekawe odwzorowanie ("prawie" wzajemnie jednoznaczne), które mógłbym porównać z przyporządkowaniem każdemu nawróconemu człowiekowi nowej natury. Co więcej, odwzorowanie to przeprowadza nas z ograniczonego grzesznego świata do świata czystego, prostego (ale nie prostackiego) i nieskończonego. Mowa tu o tak zwanym rzucie stereograficznym, tutaj przedstawionym w dwóch wymiarach (rys. 1):

Rys. 1

Pierwszym zbiorem jest tu okrąg. Zawiera on, co prawda, nieskończoną liczbę punktów, ale jednak jest ograniczony - da się zamknąć w pętli, obrysowując go dookoła. Zbiorem wartości (a więc tym, do którego działać będzie nasza funkcja) niech będzie prosta rzeczywista - pozioma, nieskończona (czyli nieograniczona, nie dająca się objąć pętlą i... rozumem) prosta z wyróżnionym punktem "0". Rzut stereograficzny działa następująco: przykładamy okrąg do naszej prostej w tym właśnie punkcie "0" i dokładnie po drugiej stronie (na "szczycie" okręgu) zaznaczamy punkt "A". Będzie to nasz - tak zwany -  środek rzutu. Teraz, aby przeprowadzić każdy punkt z okręgu (na rysunku: przykładowe czerwone punkty), prowadzimy prostą, która przechodzi przez punkt "A" i przez dany czerwony punkt, któremu chcemy przyporządkować w sposób wzajemnie jednoznaczny punkt z prostej poziomej. Powstała prosta (na rysunku: niebieskie proste (choć wyglądają jak półproste)) musi w którymś miejscu przeciąć poziomą prostą rzeczywistą. Ten punkt przecięcia to właśnie przyporządkowana do czerwonego punktu jego wartość (na rysunku: kolor zielony).

Nie licząc samego punktu "A", każdy punkt na okręgu można wzajemnie jednoznacznie przeprowadzić na (czyli przyporządkować do) punkt na prostej rzeczywistej. Zaiste, prosta, przecinając punkt "A" i dany czerwony punkt, przecina również prostą rzeczywistą dokładnie raz i, co ciekawe, każdemu punktowi na prostej odpowiada również dokładnie jeden punkt na okręgu (jeśli tego nie widać, to wystarczy przeprowadzić odwrotną konstrukcję: przeprowadzić (niebieską) prostą przez dany punkt na prostej rzeczywistej i punkt "A" - prosta ta przetnie dokładnie jeden (czerwony) punkt na okręgu). Udało się nam zatem przyporządkować nieskończonej, ale ograniczonej przestrzennie liczbie punktów drugą grupę nieskończenie wielu punktów - ale tym razem nieograniczoną i... "prostą" ;-).

Moja interpretacja para-teologiczna narzuca się na myśl chyba sama. Oto sam Bóg zszedł na grzeszny i ograniczony świat (okrąg) w postaci Jezusa Chrystusa (punkt "A"), przez którego i dla którego świat w ogóle został stworzony (dlatego punkt "A" jest na "szczycie" okręgu). W łasce swej Bóg zaplanował ratunek ludzkości od konsekwencji grzechu i upadku i może przeprowadzić nas przez Chrystusa (środek rzutu) z powrotem do życia bez grzechu, gdzie przestaniemy chodzić krętą (jak okrąg) drogą i zaczniemy iść prosto (jak... prosta), bez żadnych limitów, gdyż Królestwo Boże jest nieskończone. Tak więc przez pryzmat odkupieńczej ofiary Chrystusa, zostaje nam przyporządkowana nowa natura w nowym życiu, jakie przyjdzie nam teraz prowadzić.

Ktoś mógłby pomyśleć, że przecież jest punkt "0", którego wyraźnie rzut stereograficzny nie przeprowadza nigdzie, a więc miałbym sugerować, że są ludzie, którzy ofiary Jezusa nie potrzebują. Nic bardziej mylnego - okrąg jest tylko optycznie złączony z prostą i gdy nadejdzie czas rozdzielić okrąg od prostej (tak jak to było zanim zaczęliśmy rzutowanie), to okaże się, że są ludzie, którzy byli "na dole" okręgu i nadal na nim są, ale istnieje też grupa ludzi, których życie być może nie zmieniło się drastycznie, bo rysunek sugeruje, że nadal są w tym samym miejscu, ale zmiana jest tu istotna - gdyż są przyporządkowani już nie do okręgu, ale jednak do prostej w punkcie "0" i na prostej od teraz będą żyć.

Pozostaje jednak kwestia samego punktu "A". Co z nim - gdzie jest on przyporządkowany? Czy Chrystus potrzebuje nowej natury? Oczywiście - nie. Czy został potępiony, pozostając na okręgu? W pewnym sensie - tak, gdyż stał się grzechem przed Bogiem Ojcem. Ale, na szczęście, stan ten nie był permanentny i sam Chrystus będzie z nami w nowym życiu. Rzut stereograficzny uwzględnia bowiem i rzutowanie samego środka rzutu i, robiąc to zupełnie poprawnie, osiąga abstrakcyjny i piękny wynik...!

Rys. 2

Tak właśnie powinno wyglądać owe rzutowanie (rys. 2), jeśli mielibyśmy pozostać konsekwentni. Niebieska prosta rzutowania, która przechodzi przez punkt "A" i... punkt "A" to, w doskonałym ujęciu, styczna do okręgu w punkcie "A". Jest to prosta, która styka się z okręgiem tylko w jednym punkcie i w tym przypadku jest ona akurat równoległa z prostą rzeczywistą na dole. Oznacza to, że te dwie proste nigdy się nie przetną, co normalnie mogłoby być zmartwieniem, ale ja jednak proponuję zauważyć, że "w pewnym sensie" przetną się... w nieskończoności! W zasadzie nie jest to nawet moja propozycja, ale jest to jedna z interpretacji prostej rzeczywistej, w której dodatnia nieskończoność spotyka się z ujemną nieskończonością lub, jeśli rozważymy rzut stereograficzny w trzech wymiarach, sposób pokazania, że w liczbach zespolonych istnieje tylko jedna - ogólna - nieskończoność (niezależnie od tego, w którą stronę pójdziemy).

Zatem rzeczywiście Chrystus jest tu rzutowany przez samego siebie w nieskończoność. Nieskończoność, którą opatuli samym sobą i w którym i my będziemy się poruszać. Według mnie, trudno o lepszą matematyczną reprezentację takiej wizji...!




* Tutaj jest przykład listy, która zawiera wszystkie wersety biblijne zawierające taką frazę: link!

** Bardziej profesjonalnie cechę różnowartościowości nazywa się iniekcją, a bycia "na" - suriekcją. Funkcję, która jest jednocześnie iniekcją i suriekcją nazywamy bijekcją.

*** Zakładamy tu dla prostoty, że każdy obywatel naszego kraju faktycznie ma numer PESEL - bo za pewne są osoby (bezdomne lub porzucone dzieci), które i na taki "luksus" pozwolić sobie nie mogły...

Ciekawa implikacja

Implikacja to inaczej wynikanie. W matematyce również możemy mówić o implikacji i wtedy rozróżniamy implikację materialną i logiczną. Pierwsza z nich dotyczy zdań logicznych i to właśnie niej się dzisiaj przyjrzę. Głównie dlatego, że w Biblii znalazłem dosyć ciekawe jej użycie przez samego Jezusa i albo niepotrzebnie nadinterpretuję prosty tekst, albo Bóg puszcza oko do wierzących matematyków (i studentów matematyki!) :).

Najpierw jednak - krótki wstęp. Matematycy przez zdanie logiczne rozumieją to, co językoznawcy nazwaliby zdaniem twierdzącym, któremu da się przypisać wartość "prawda" lub "fałsz". Przykładami niech będą "Księżyc jest zrobiony z sera" - zdanie fałszywe i "Titanic zatonął w 1912 roku" - zdanie prawdziwe. "Czy księżyc jest zrobiony z sera?" i "Niepotrzebnie nakręcono film o Titanicu" nie są zdaniami logicznymi, gdyż pierwsze z nich jest pytaniem, zaś drugiemu nie możemy przypisać jednoznacznie wartości "prawda" lub "fałsz" (gdyż jest to kwestia subiektywnej opinii).

Możemy wziąć teraz kilka takich zdań logicznych i połączyć je spójnikiem logicznym (lub - uwaga - funktorem zdaniotwórczym) w jedno nowe zdanie logiczne, którego prawdziwość będzie zależała od rodzaju spójnika i od prawdziwości zdań składowych. Najczęściej rozważać będziemy spójniki dwuargumentowe, to jest takie, które łączą dwa zdania. Prostym przykładem takiego spójnika będzie "lub", które działa następująco: łącząc dwa zdania fałszywe, daje zdanie fałszywe, zaś w pozostałych przypadkach - zdanie prawdziwe. Oznacza się go w matematyce przez "v" lub "+", a powstałe zdanie nosi nazwę alternatywy. Spójnik "i", łącząc dwa zdania prawdziwe, daje zdanie prawdziwe, a w pozostałych przypadkach - zdanie fałszywe; oznaczamy go przez "^" lub "*", zaś powstałe zdanie nazywamy koniunkcją. Ważnym przykładem funktora zdaniotwórczego jednoargumentowego będzie zaprzeczenie, które dodaje na początku zdania "Nieprawda, że", negując w ten sposób jego prawdziwość (lub fałszywość). Zanegowane zdanie będziemy oznaczać przez "~".

Przydałoby się kilka przykładów. Użyję również zapisu symbolicznego, dlatego niech przez p i q będą rozumiane następujące zdania:
p = Księżyc jest zrobiony z sera.
q = Titanic zatonął w 1912 roku.
Ponadto, niech f(a) oznacza funkcję, która zdaniu a przyporządkowuje wartość 1 (prawdziwe) lub 0 (fałszywe). Wtedy:

p v q
Księżyc jest zrobiony z sera lub Titanic zatonął w 1912 roku.
f(p v q) = 1 (gdyż, co prawda f(p) = 0, ale f(q) = 1 i to wystarczy do prawdziwości całego zdania)

p ^ q
Księżyc jest zrobiony z sera i Titanic zatonął w 1912 roku.
f(p ^ q) = 0 (oba zdania składowe musiałyby być prawdziwe, a tak nie jest)

~p
Nieprawda, że księżyc jest zrobiony z sera. (lub: Księżyc nie jest zrobiony z sera)
f(~p) = 1 (gdyż f(p) = 0)

~p ^ q
Księżyc nie jest zrobiony z sera i Titanic zatonął w 1912 roku.
f(~p ^ q) = 1

~(p v ~q)
Nie jest prawdą, że księżyc jest zrobiony z sera lub Titanic nie zatonął w 1912 roku.
f(~(p v ~q)) = 1

Implikacja również jest funktorem zdaniotwórczym (dwuargumentowym) i sprawdza się jako pewnego rodzaju "spójnik" (językoznawcy mnie rozszarpią). Oznacza się ją przez "=>" - z użyciem zdań: p => q - i czyta "p implikuje q" lub "Z p wynika q" lub - najczęściej - "Jeśli p, to q". Zdanie p w tej konstrukcji nazywamy poprzednikiem, zaś q - następnikiem. Okazuje się ona ważna z kilku powodów. Na przykład, duża większość twierdzeń matematycznych ma konstrukcję implikacji, to znaczy wygląda mniej więcej tak: "Jeśli zachodzą takie-a-takie założenia, to wtedy dzieje się to-a-tamto". Najciekawsza jest jednak prawdziwość implikacji, gdyż ta - podobnie jak i pozostałych funktorów - nie zależy od sensu zdań składowych, ale tylko i wyłącznie od ich prawdziwości. Ponieważ implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy prawdziwy jest poprzednik implikacji, a następnik - fałszywy, to następujące zdania są - matematycznie rzecz biorąc - prawdziwe:
Jeśli księżyc nie jest zrobiony z sera, to Titanic zatonął w 1912 roku. (1 => 1)
Jeśli księżyc jest zrobiony z sera, to Titanic zatonął w 1912 roku. (0 => 1)
Jeśli księżyc jest zrobiony z sera, to Titanic nie zatonął w 1912 roku. (0 => 0)
Zaś to jest fałszywe:
Jeśli księżyc nie jest zrobiony z sera, to Titanic nie zatonął w 1912 roku. (1 => 0).

Ma to, o dziwo, swój sens: skoro poprzednik jest fałszywy, to nie obchodzi mnie, czy następnik jest prawdziwy czy nie - interesuje mnie jedynie przypadek, gdy poprzednik jest prawdziwy - wtedy wymagam, by i następnik był prawdziwy. Na tym właśnie polega konstrukcja "Jeśli..., to...". Zresztą, spójrzmy na bardziej intuicyjny przykład:
Jeśli osoba x jest mężczyzną, to jest człowiekiem.*
W przypadku, gdy x jest mężczyzną, to rzeczywiście jest również człowiekiem. A gdy x nie jest mężczyzną - czyli gdy poprzednik implikacji jest fałszywy? Czy kobiety automatycznie nie są ludźmi? Nie, dlatego zdanie:
Jeśli Kasia jest mężczyzną, to jest człowiekiem.
jest prawdziwe, choć brzmi dziwnie.

Za chwilę przejdziemy już do implikacji z Biblii, która mnie zaciekawiła. Najpierw jednak - ostatni przykład - nieprzypadkowy - który pozwoli nam się upewnić, że nie jesteśmy stronniczy względem tekstu Biblii. Rozważmy takie oto zdanie (złożone):
Kto zda test i pojedzie na wyjazd firmowy, ten będzie przyjęty do firmy.
Jan Kowalski właśnie takie słowa usłyszał od swojego hipotetycznego przyszłego szefa odnośnie swojego zatrudnienia w jego firmie. Zatem dla Jana zdanie to brzmi:
Jeśli zdam test i pojadę na wyjazd firmowy, to będę przyjęty do firmy.
Ma to już konstrukcję implikacji, którą potrafimy zapisać symbolicznie:
Z = Zdam test.
W = Pojadę na wyjazd firmowy.
P = Będę przyjęty do firmy.

(Z ^ W) => P

Wiemy również, że zaprzeczenie poprzednika tej implikacji nie oznacza koniecznie, że automatycznie następnik będzie fałszywy - to znaczy, że jeśli nie zdam testu lub nie pojadę na wyjazd firmowy, to od razu nie będę przyjęty do firmy:
~(Z ^ W) => ?P
~Z v ~W => ?P
Wyobraźmy sobie teraz, że szef dodaje następujące słowa:
...ale kto nie zda testu, ten nie będzie przyjęty do firmy.
"Ale" jest tutaj tym samym spójnikiem, co "i", jeśli patrzeć na to matematycznie. Mamy zatem następujące zdanie logiczne, które Jan może sobie powiedzieć:
Jeśli zdam test i pojadę na wyjazd firmowy, to będę przyjęty do firmy, ale jeśli nie zdam testu, to nie będę przyjęty do firmy.
[(Z ^ W) => P] ^ [~Z => ~P]

Mamy teraz do czynienia ze sporej wielkości koniunkcją, o której wiemy, że jest prawdziwa (bo tak powiedział Janowi szef), to znaczy:
f([(Z ^ W) => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
Zobaczmy, co się stanie, gdy Jan nie zda testu, to znaczy f(Z) = 0. Oznaczmy również przez 0 zdanie fałszywe, a przez 1 - prawdziwe:
f([(0 ^ W) => P] ^ [1 => ~P]) = 1
f([0 => P] ^ [1 => ~P]) = 1
f(1 ^ [1 => ~P]) = 1
f(1 => ~P) = 1
f(~P) = 1 (inaczej mielibyśmy f(1 => 0) = 1, a to nieprawda)
f(P) = 0
Okazało się, że wtedy Jan nie będzie przyjęty do firmy. Żaden szok, gdyż to właśnie powiedział szef: "...ale kto nie zda testu, ten nie będzie przyjęty do firmy". Co interesujące, na wynik nie miał wpływu wyjazd firmowy lub jego brak...

A teraz - co się stanie, gdy Jan nie pojedzie na wyjazd firmowy? Czyli gdy f(W) = 0?
f([(Z ^ 0) => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
f([0 => P] ^ [~Z => ~P]) = 1
f(1 ^ [~Z => ~P]) = 1
f(~Z => ~P) = 1
Okazuje się, że niepojechanie na wyjazd firmowy... jeszcze o niczym nie zadecyduje - nie da się stąd stwierdzić prawdziwości P bez znajomości prawdziwości Z. Czy coś się zmieni, gdy Jan zda test (f(Z) = 1)?
f(~1=> ~P) = 1
f(0 => ~P) = 1
f(1) = 1
1 = 1
Nadal - nie! Zdanie testu, ale nie pojechanie na wyjazd firmowy ani nie przekreśliło przyjęcia Jana do firmy, ani nie zapewniło mu tam miejsca.

A teraz - Biblia:
Mk 16: (16) Kto uwierzy i ochrzczony zostanie, będzie zbawiony, ale kto nie uwierzy, będzie potępiony.
Czyż nie jest to po prostu:
Jeśli uwierzę i zostanę ochrzczony, to będę zbawiony, ale jeśli nie uwierzę, to nie będę zbawiony.
czyli zdanie zupełnie analogiczne do powyżej analizowanego?

Skoro zatem Janowi niewyjechanie na wyjazd firmowy nie przekreśliło automatycznie przyjęcia do firmy, tak też niezostanie ochrzczonym nie przekreśla automatycznie zbawienia - wbrew temu, co głoszą niektóre wyznania chrześcijańskie. Świetnym tego przykładem może być Łotr na krzyżu obok Jezusa - któremu wiara (zdanie testu) poczytana została za wystarczający środek zbawienia, choć nie został on, z oczywistych powodów - ochrzczony (jakoś nie znalazł czasu na wyjazd firmowy).

Nie chcę jednak tu zniechęcać do chrztu i twierdzić, że jest zbędny - jest to dobra praktyka chrześcijańska o wielorakim znaczeniu i z pewnością każdy nowonarodzony człowiek powinien dać się ochrzcić. Jednak odmawianie zbawienia z całą pewnością tylko z powodu braku chrztu jest - jak widać - nieuzasadnione. Wolałbym raczej pokazać, że to wiara jest tym kluczowym elementem "bez którego nie można się Bogu podobać"**, zaś chrzest jest pierwszym krokiem w Kościele. Powyżej pokazałem zresztą, że niezależnie od wyjazdu firmowego, Jan nie będzie przyjęty do pracy, jeśli nie zda testu. Zatem niech ochrzczone, ale niewierzące osoby się otrząsną, gdyż, najwyraźniej, nie są zbawione (znów: wbrew temu, co mogły usłyszeć w swoich kościołach)...

Czy to nie jest dosyć ciekawy przykład implikacji materialnej w Piśmie Świętym?



* Ktoś spostrzegawczy mógłby zauważyć, że przecież temu wyrażeniu nie możemy przypisać jednoznacznie wartości "prawda" lub "fałsz" - a przynajmniej dopóki nie wiemy, kto jest osobą x. Zatem nie jest to zdanie logiczne. I słusznie - jest to funkcja logiczna (lub forma zdaniowa - albo predykat) :).

** Heb 11: (6) Bez wiary zaś nie można podobać się Bogu; kto bowiem przystępuje do Boga, musi uwierzyć, że On istnieje i że nagradza tych, którzy go szukają.

Bóg zespolony

Doktryna o Trójcy to jedna z największych trudności, z jaką zmagali się chrześcijanie na przestrzeni wieków. Ciężko ją zrozumieć, łatwo podważyć, jeszcze łatwiej nieświadomie popaść w herezję, używając słów niezbyt ostrożnie. Zdaje się ona być alogiczna i dodana na zasadzie "łatki" w miejscu, które tworzyło sprzeczność. Owa sprzeczność zdaje rodzić się z następujących twierdzeń:

1. Jest jeden Bóg. (Mk 12:29)
2.
a) Ojciec jest Bogiem. (J 6:27)
b) Syn jest Bogiem. (J 1:1)
c) Duch Święty jest Bogiem. (1Kor 2:10-11)
3.
a) Ojciec nie jest Synem i Syn nie jest Ojcem. (J 14:28)
b) Ojciec nie jest Duchem Świętym i Duch Święty nie jest Ojcem. (Iz 48:16)
c) Syn nie jest Duchem Świętym i Duch Święty nie jest Synem. (Dz 1:1-2)

Chrześcijanin, który chce, by jego wiara była w spójności z wierzeniami jego poprzedników, ma do wyboru dwie rzeczy: uzyskać logiczność tej doktryny poprzez usunięcie któregoś z punktów - np. osiągnąć tryteizm poprzez pominięcie pierwszego punktu, arianizm poprzez nieuznanie punktu drugiego (a właściwie 2b i 2c) czy jakąś formę modalizmu, odrzucając punkt trzeci - lub może przyjąć wszystkie te twierdzenia i zaakceptować ich nielogiczność. Pierwsza postawa nie wydaje się zbyt biblijna i historycznie spójna z wierzeniami ludzi, którzy poprzedzali nas w wierze i są teraz u Pana. Druga zaś stawia nas w niekomfortowej sytuacji bycia nielogicznymi, naiwnymi i pozbawionymi wszelkiej linii obrony.

Oczywiście odradzam wszystkim wybór pierwszej opcji: wszystkie te twierdzenia są dobrze udokumentowane w Biblii i to nie tylko na podstawie pojedynczych wersetów, których przykłady podałem w nawiasie. Nie chcę dziś jednak o tym pisać, ale zwrócić się do grupy osób, które wybrały drugą opcję i czują się źle z takim wyborem. I ja jestem w tej grupie i do niedawna miałem wrażenie, że doktryna o Trójcy jest właśnie taką łatką, którą mądre głowy przyszyły w miejscu, w którym Biblia zdaje się przeczyć samej sobie, co jednocześnie okrada Pismo z nieomylności i jego natchnienia przez samego Boga. Napiszę dziś o innej łatce - matematycznej - która, jak sobie dopiero później zdałem sprawę - jest bardziej naturalna niż oryginalny materiał.

Chodzi konkretnie o liczby zespolone - w szczególności zaś o podstawową ich jednostkę, tak zwaną jednostkę urojoną, oznaczaną poprzez i (niektórzy inżynierowie, zwłaszcza ci parający się elektryką, mogą znać ją pod postacią j). Jest to liczba o ciekawej, niespotykanej wśród liczb rzeczywistych, własności: i^2 = -1. Można zatem, w uproszczeniu, przyjąć, że i to pierwiastek kwadratowy z -1.

Jak wyobrażam sobie jej "wynalezienie" w XVIII wieku? Otóż, liczby rzeczywiste są dość dobrym zbiorem liczbowym i mają niemal wszystko, co matematycy chcieliby, żeby porządny zbiór liczbowy posiadał: można wprowadzić w nim dwa ładne działania - dodawanie i mnożenie - które są łączne, przemienne i rozdzielne (mnożenie względem dodawania); można wyszczególnić ich elementy neutralne (dodawania: 0, mnożenia: 1) oraz odwrotne (dla x rzeczywistego różnego od 0, 1/x jest liczbą odwrotną; w dodawaniu własność tę nazywamy byciem przeciwnym - dla x rzeczywistego -x jest liczbą przeciwną) i wszystko to mieści się w ramach tego jednego zbioru. Matematyka określiłaby zbiór liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem mianem ciała liczbowego. Jak się jednak okazuje, nie jest to ciało algebraicznie domknięte, co jest pierwszą rysą na honorze tych jakże przecież porządnych i dotychczas rzetelnych liczb. Co to oznacza?

W dużym uproszczeniu, jeśli weźmiemy sobie jakiś wielomian o współczynnikach będącymi właśnie liczbami rzeczywistymi, to okaże się, że nie każdy z nich posiada rozwiązanie i da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych. Bez zbędnych wyjaśnień, przykład:
W(x) = x^2 - 4
Jest to wielomian kwadratowy (gdyż najwyższa potęga przy iksie to 2), który posiada dwa rozwiązania: 2 i -2. Jeśli za x podstawimy 2, to W(2) = 0 oraz ten sam wynik otrzymamy, wstawiając za x drugie rozwiązanie: W(-2) = 0. To właśnie oznacza, że wielomian W posiada rozwiązania (wszystkie możliwe, swoją drogą - rozwiązań może być maksymalnie tyle, ile wynosi najwyższa potęga iksa) i pozwala zapisać W(x) w innej formie - iloczynu czynników liniowych:
W(x) = (x - 2)(x + 2)
Jeśli wymnożymy te nawiasy, to otrzymamy wyjściową formę tego wielomianu, jednak obecna postać interesuje nas bardziej, gdyż można z niej jasno odczytać miejsca zerowe: czyli iksy, w których W(x) się zeruje (w naszym przykładzie: 2 i -2, gdyż W(2) = W(-2) = 0).

Możemy jednak zbudować wielomian z liczb rzeczywistych, który nie będzie miał wśród nich żadnego rozwiązania. Przykład jest już klasyczny i nieprzypadkowy:
V(x) = x^2 + 1
Niezależnie, jaką liczbę rzeczywistą wymyślimy i wstawimy w miejsce iksa, nigdy nie otrzymamy wyniku V(x) = 0. To właśnie oznacza, że ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte i, jak się dopiero dużo później okazało, mniej użyteczne niż się zdaje. W tym miejscu wkracza Euler i stwierdza "wymyślmy zatem liczbę, która zeruje taki wielomian"* i... tak właśnie robi. Rozważał liczbę, którą nazwał urojoną, oznaczył jako i i dla której V(i) = 0, to znaczy: i^2 + 1 = 0, to jest i^2 = -1. Pozwala to zapisać wielomian V w formie iloczynu liniowych czynników:
V(x) = (x - i)(x + i)

Jednak nie to jest najważniejsze w związku z nowym wynalazkiem. Zaskakujące okazało się, że liczby rzeczywiste rozszerzone o koncepcję liczby urojonej nadal stanowiły porządne ciało liczbowe - ciało, które dziś znamy pod nazwą liczb zespolonych. Zespolonych, gdyż powstałych z zespolenia dotychczasowych liczb rzeczywistych z liczbami postaci bi, gdzie b jest liczbą rzeczywistą, a i - jednostką urojoną. Mamy zatem nowe, większe ciało liczb zespolonych postaci a + bi, których reprezentacja nie mieści się na osi i wymaga całej dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej do ich graficznego przedstawienia. Więcej, i załatało nie tylko problem wielomianu x^2 + 1, ale... wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych... a nawet... zespolonych!

Liczby zespolone pociągnęły za sobą cały szereg zmian i nie mam czasu, miejsca i wiedzy, by o wszystkim tu napisać, ale jedno jest pewne: liczby te tak samo łatwo się dodaje, mnoży i używa do wszelkich innych operacji, jak rzeczywistych, ale dają o wiele więcej ciekawych możliwości i własności dzięki "nienaturalnej" właściwości jednostki urojonej - bo co w naturze podniesione do kwadratu może dać taki wynik**? Owa "nienaturalność" ich powstania była czymś, co powodowało, że patrzyłem na nie właśnie jak na łatę - coś dodane sztucznie po to, żeby uzyskać jakiś pożądany efekt. Matematycy chcieli ciała algebraicznie domkniętego - więc dostali całą ich ciężarówkę kierowaną przez wynalazek urojony.

Wrażenie sztuczności i załatania sprawy straciłem dopiero po głębszym (choć wcale nie głębokim) zapoznaniu się z teorią ciał - gdzie okazało się, że podobne ciała można produkować niemal taśmowo za pomocą nieco innego podejścia. Dopiero wtedy zdałem sobie sprawę, że liczby zespolone są... zupełnie naturalne w zwykłym tego słowa znaczeniu i nie powstały jako łata, ale da się je znaleźć w całkiem prosty sposób. Postaram się ten sposób tu przedstawić, choć temat jedynie lekko przybliżę, gdyż jest rozległy. I nie będę używał zbyt dużo terminów matematycznych, bo nie o to tu teraz chodzi.

Wszystko zaczyna się od pierścienia - innej struktury algebraicznej, która jest nieco uboższa od ciała. W nim również można dodawać i mnożyć, istnieją elementy neutralne obu operacji, rozdzielność tych działań i liczby przeciwne, ale... nie ma liczb odwrotnych. Przykładowo można tak myśleć o liczbach całkowitych: ...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4... . Liczby te mają wszystko to, co liczby rzeczywiste, poza właśnie elementami odwrotnymi względem mnożenia, czyli np. brakuje 1/2 dla dwójki czy 1/5 dla piątki.

W ramach takiego pierścienia możemy wyróżnić podpierścień - jakiś wycinek pierścienia, który zachowuje wewnętrzną spójność ze wszystkimi działaniami. Idąc dalej z przykładem, niech będą to liczby całkowite podzielne przez 3, czyli ...-6, -3, 0, 3, 6, 9... . Dodając je i mnożąc, zawsze otrzymamy inne liczby podzielne przez 3. Tworzą one zatem podpierścień liczb całkowitych - oznaczmy je przez [3n]. Możemy teraz rozważyć klasy abstrakcji (przestrzeni ilorazowej): twory, na które podpierścień "dzieli" pierścień. Okazuje się, że podpierścień liczb całkowitych podzielnych przez 3 dzieli wszystkie liczby na trzy kategorie: liczby dzielące są na 3 bez reszty, dzielące się z resztą 1 i na takie, które w wyniku dzielenia z resztą dają reszty 2. Jak to działa? "Przesuwamy" nasz podpierścień [3n] o kolejne liczby całkowite:
...-6, -3, 0, 3, 6, 9... -- [3n] przesunięte o 0, czyli klasa 0 + [3n];
...-5, -2, 1, 4, 7, 10... -- [3n] przesunięte o 1, czyli klasa 1 + [3n];
...-4, -1, 2, 5, 8, 11... -- [3n] przesunięte o 2, czyli klasa 2 + [3n];
I teraz:
...-3, 0, 3, 6, 9, 12... -- [3n] przesunięte o 3, czyli klasa 3 + [3n], która... przecież jest taka sama jak 0 + [3n]! Podobnie:
...-2, 1, 4, 7, 10, 13... -- [3n] przesunięte o 4, czyli klasa 4 + [3n], która jest równa klasie 1 + [3n]...

Postępując tak dalej (i w obie strony, czyli również przesuwając pierścień liczbami ujemnymi), zobaczymy, że co trzecia liczba "przesuwa" pierścień w ten sam sposób. 0 działa jak 3, 6, 9, zaś 1 daje ten sam efekt co 4, 7, 10 i wreszcie 2 nie różni się w tym przesuwaniu od 5, 8, 11. Możemy zatem te liczby pogrupować - podzielić na trzy frakcje i w ramach tych frakcji je ze sobą utożsamić. Otrzymamy wtedy klasy abstrakcji:
0 + [3n] = {...-6, -3, 0, 3, 6, 9...}
1 + [3n] = {...-5, -2, 1, 4, 7, 10...}
2 + [3n] = {...-4, -1, 2, 5, 8, 11...}
Wszelkie inne klasy pokryją się z jedną już istniejących trzech. Możemy zatem teraz zamiast myśleć o zbiorach liczb, dla uproszczenia myśleć o 0, 1 i 2. I możemy pomijać w zapisie to "+ [3n]", a wtedy otrzymamy następujący zbiór klas abstrakcji: {0, 1, 2}. I to jest zaskakujący efekt naszych machinacji: owe liczby w pewien ciekawy sposób... stanowią ciało!

Jest tu dodawanie, odejmowanie, mnożenie i - uwaga - dzielenie (którego wcześniej brakowało z powodu braku elementów odwrotnych), ale zdefiniowane odpowiednio - uwzględniając skończoną liczbę elementów, którymi operujemy i jednocześnie mając na uwadze genezę ich pochodzenia. Wystarczy za każdym razem po dodaniu lub pomnożeniu liczb pamiętać, by zamiast wyniku zapisać resztę dzielenia przez 3:
1 + 2 = 0, bo 1 + 2 = 3, ale 3:3 = 1 r 0
2 + 2 = 1, bo 2 + 2 = 4, ale 4:3 = 1 r 1
2 * 2 = 1, bo 2 * 2 = 4, ale 4:3 = 1 r 1
1 * 2 = 2, bo 1 * 2 = 2, ale 2:3 = 0 r 2
etc.

Z pierścienia otrzymaliśmy w nietypowy (ale w pełni poprawny i "legalny") sposób strukturę bogatszą, ale "mniejszą" - ciało skończone liczb "modulo 3". Żeby teraz pokazać, jak w podobny sposób stworzyć jednostkę urojoną, musimy dobrać odpowiedni pierścień i następnie podzielić go na klasy abstrakcji. Weźmy sobie pierścień wielomianów o współczynnikach rzeczywistych (skoro problem z i zaczyna się w wielomianach, to niech wielomiany ten problem rozwiążą!) - twór, którego elementami są wielomiany, np.: (x + 1), (x^3 - 2x^2 + 4x - 11) czy (0.75x^5 + 1.3x^4 - x^3 + [pi]x - e) i które możemy dodawać, odejmować i mnożyć. Rozważmy teraz klasy wygenerowane przez nasz wcześniej omówiony wielomian V(x) = x^2 + 1. Tak jak wcześniej podpierścień [3n] podzielił nam liczby całkowite na liczby dające kolejne możliwe reszty z dzielenia przez 3 (czyli 0, 1 i 2), tak teraz podpierścień [V] (wielomiany podzielne przez V) podzieli wszystkie wielomiany ze względu na to, jaką dadzą resztę z dzielenia przez V. Ponieważ V jest wielomianem stopnia drugiego, to dzielenie przezeń da w wyniku resztę będącą co najwyżej stopnia pierwszego, czyli postaci bx + a, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.

Jednocześnie pamiętamy, że V symbolizuje tu niejako "0" - podobnie jak we wcześniejszym przykładzie trójkę utożsamiliśmy z zerem. Musimy zatem przy każdej operacji pamiętać, żeby x^2 + 1 zastępować przez 0. Czyli, innymi słowy, x^2 + 1 = 0. Albo... x^2 = -1... Czy to nie jest przypadkiem... definicja liczby urojonej...?

Ależ owszem. Dla przykładu:
Wielomian x^2 + x + 1 to w nowym ciele wielomian x, gdyż x^2 + x + 1 daje w wyniku dzielenia z resztą przez V właśnie x.
Wielomian x^2 + x + 2 to w nowym ciele wielomian x + 1, gdyż tyle właśnie wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez V.
Teraz: x * (x + 1) = x^2 + x, czyli: -1 + x
Podstawmy za x = i:
i * (i + 1) = -1 + i.
Wszystko się zgadza!

W tym miejscu skończę tę ciężką przeprawę przez matematykę. Było to tylko "liźnięcie" algebry - tej liniowej, jak i teorii ciał. Wszystko w ogólnikach i na skróty, żeby zmieścić jak najwięcej treści w najmniejszej przestrzeni, dlatego może być niezrozumiale***. Morał zaś jest taki: na około, z trudnościami, ale jednak - dowiedliśmy, że liczby urojone nie są "łatą" dla liczb rzeczywistych, ale są pełnoprawnym materiałem, który ma swoje logiczne podstawy. I podobnie jest, tak wierzę, z doktryną o Trójcy - doktryną, która wydaje się łatać sprzeczne na pierwszy rzut oka twierdzenia Biblii, ale w rzeczywistości jest naturalna w sensie jej powstania, ale nie zrozumienia.

Co to znaczy? Jej konstrukcja jest logiczna, tak jak konstrukcja ciał, ale nie jest prosta w wyobrażeniu jej sobie. Wszystkie te operacje na zbiorach były na wyższym poziomie abstrakcji niż nasze dotychczasowe rozumienie liczb. I tylko to pozwalało dojść nam do tak niezrozumiałych koncepcji jak liczba, której kwadrat jest ujemny. Zrozumienie Trójcy opiera się na rozróżnieniu istoty od osoby - wierzymy w jedną istotę Boga, który jest trój-osobowy. Wymaga to podejścia do tematu od innej strony - dotychczas być może nierozważanej (bo przecież chrześcijanie od dawna już nie lubią filozofii...) i całkowicie niezrozumiałej - bo jak jedna istota może "zawierać" w sobie więcej niż jedną osobę...? To nie jest konstrukcja, na którą napotykamy się w życiu codziennym. To raczej zaskakujący wniosek - wynik, który dziwi swoją niespotykaną własnością. Trój-osobowa istota to taka liczba, której kwadrat jest ujemny.

Zachęcam zatem do przestudiowania tematu Trójcy - doktryny, która nie jest łatwa i prosta, ale raczej łamiąca głowę niejednego teologa w historii. Temat być może będzie wymagał podejścia od zupełnie innej strony, ale niech nie będzie to zniechęcające (i wymuszające argument "niebiblijności") - Biblia może sama dostarczyć ciekawych rozwiązań, które pokażą, że ta czy inna "łata" jest z lepszego materiału niż "łatany" kawałek ubrania!



* Oczywiście to niekoniecznie historyczna prawda, ale właśnie takie wrażenie odniosłem po zapoznaniu się z liczbami zespolonymi :).

** O ile w naturze w ogóle można mówić o "podnoszeniu do kwadratu"...

*** W zasadzie ten post jest chyba za długi i być może nie potrzebował tak dokładnego omówienia tematu (choć to wcale nie jest dokładne umówienie...), ale skoro już napisałem, to przecież nie będę kasował :).

Niezupełność i niesprzeczność

Twierdzenie Gödla jest jednym z najważniejszych twierdzeń logiki matematycznej. Mówi ono o tzw. aksjomatyce Peano - czym jest aksjomat, pisałem dwa posty wcześniej. Aksjomatyka to uporządkowany system aksjomatów, zaś Giuseppe Peano to matematyk żyjący na przełomie XIX i XX wieku odpowiedzialny za, między innymi, aksjomatykę liczb naturalnych - czyli oczywistych rzeczy, jakie zachodzą między liczbami 0, 1, 2, 3, ... .

Twierdzenie Gödla, za pewne w uproszczeniu, mówi o tym, że dowolna aksjomatyka, która zawiera w sobie aksjomatykę Peano i nie ma w sobie sprzeczności, jest niezupełna. Niezupełna oznacza tutaj, że mając do dyspozycji wszystkie aksjomaty danego systemu, nie dowiedziemy z nich wszystkich zdań prawdziwych w owym systemie. Czyli istnieje dysproporcja między zdaniami dowodliwymi a zdaniami prawdziwymi.

Dowodliwość to cecha twierdzeń polegająca na tym, że w obrębie danej aksjomatyki istnieje dowód owego twierdzenia. Jego dowodliwość ma wpływ na jego prawdziwość, ale odwrotna relacja nie zachodzi - zdanie prawdziwe niekoniecznie musi być dowodliwe w ramach przyjętej aksjomatyki. Ilustracją niech będzie taki przykład: mamy do dyspozycji takie fakty:
(1) Adam jest starszy od Bartka
(2) Bartek jest starszy od Cezarego
(3) Dariusz jest starszy od Cezarego
Możemy dowieść, korzystając z przechodniości relacji porządku, że Adam jest starszy od Cezarego*, ale nie możemy stwierdzić, czy Dariusz jest starszy od Bartka czy Adama - a któreś z tych zdań lub ich zaprzeczeń musi być prawdziwe - może, na przykład, Dariusz jest starszy od Bartka, ale młodszy od Adama. Wtedy zdaniem prawdziwym byłoby Dariusz jest starszy od Bartka i młodszy od Adama, ale nie jest to zdanie dowodliwe w obrębie zdań (1) - (3) - czyli nie wynika to z danych nam informacji.

Gödel dowiódł, że zbiór zdań dowodliwych w niesprzecznym systemie akcjomatów nie pokrywa się ze zbiorem zdań faktycznie prawdziwych - tych pierwszych jest mniej niż drugich. Oznacza to, że możemy dowieść mniej na bazie pewnej grupy pewników (aksjomatów) niż w rzeczywistości zachodzi. Według mnie, całkiem podobnie jest z wiarą chrześcijańską, a szczególnie tą opartą o zasadę sola Scriptura - tylko Pismo. Jeśli potraktować Biblię jako aksjomatykę (mam nadzieję, że to nie herezja), to rzeczywiście możemy na jej podstawie dowieść wiele prawdziwych zdań (choć często różnych w różnych denominacjach ;)), jednak czy Biblia odpowiada na każde pytanie, jakie stawia chrześcijanin w swoim życiu? Wydaje mi się, że nie; mało wiemy o życiu po śmierci, czy jak będzie wyglądać i funkcjonować "Niebo"; mało wiemy o pochodzeniu zła; mało wiemy o czasach przed Potopem; tragicznie mało wiemy o wielu, wielu innych rzeczach. Na dobrą sprawę, nie znamy nawet siebie, nie mówiąc już o otaczającym nas świecie.

Dość jasno chyba ukazuje się tu zasadność twierdzenia Gödla - zbiór rzeczy, które o Bogu powiedzieć można (szeroko rozumiana "teologia") jest dalece mniejszy od zbioru rzeczy, które Bóg może powiedzieć o samym sobie. Nie twierdzę, że Bóg powiedział nam za mało - uważam, że powiedział nam wystarczająco i tyle, ile chciał. Wszystko, co wiemy, jest wystarczające, by oddać Mu chwałę i powierzyć Chrystusowi swoje życie. Wszelkie dodatkowe "gdybanie" jest... rzeczywiście gdybaniem. Jednocześnie, prawdopodobnie po śmierci, dowiemy się jeszcze ogromnej ilości innych faktów, które nie wynikają bezpośrednio z biblijnej aksjomatyki. Zresztą, podobną rzecz stwierdza Pismo:

1Kor 2: (6) My tedy głosimy mądrość wśród doskonałych, lecz nie mądrość tego świata ani władców tego świata, którzy giną; (7) ale głosimy mądrość Bożą tajemną, zakrytą, którą Bóg przed wiekami przeznaczył ku chwale naszej, (8) której żaden z władców tego świata nie poznał, bo gdyby poznali, nie byliby Pana chwały ukrzyżowali. (9) Głosimy tedy, jak napisano: Czego oko nie widziało i ucho nie słyszało, i co do serca ludzkiego nie wstąpiło, to przygotował Bóg tym, którzy go miłują.

Twierdzenie Gödla ma jeszcze jeden mały haczyk: słowo niesprzeczny. Okazuje się, że twierdzenie nie mówi, że każdy system aksjomatów jest niezupełny, ale dokładnie precyzuje, że chodzi o systemy niesprzeczne, czyli takie, które nie zawierają w sobie sprzeczności, to jest zdań wzajemnie wykluczających się. Przykład systemu aksjomatów, który jest sprzeczny:
(1) 1 < 2
(2) 2 < 3
(3) 3 < 1
Z (1) i (2) wynika, że 1 < 3, co stoi w sprzeczności z (3). Co by się zatem stało, gdybyśmy usunęli ten warunek z twierdzenia Gödla i pozwolili systemowi być sprzecznym?

Tu się objawia właśnie haczyk: nie uzyskamy wyłącznie wszystkich zdań prawdziwych danego systemu. Otrzymamy więcej zdań dowodliwych niż jest prawdziwych! Z przykładu powyżej - otrzymujemy co najmniej tyle zdań dowodliwych: 1 < 1, 1 < 2, 1 < 3, 2 < 1, 2 < 2, 2 < 3, 3 < 1, 3 < 2 i 3 < 3, czyli aż dziewięć zdań, z których zaledwie trzy są faktycznie prawdziwe: 1 < 2, 2 < 3 i 1 < 3! Owszem, udało nam się znaleźć zdania prawdziwe**, ale za jaką cenę - dostaliśmy ponadto dwa razy więcej zdań fałszywych. Co ciekawe, nigdy nie otrzymamy sytuacji przy takich założeniach, w której liczba zdań dowodliwych i prawdziwych jest równa - ot, taka cecha naszego zepsutego świata.

Możemy zatem przeformułować twierdzenie Gödla w taki sposób: dowolna aksjomatyka, która zawiera w sobie aksjomatykę Peano, jest niezupełna lub sprzeczna. By odnieść to na pole teologii, nieco odwrócę tu rozumowanie: nie zrozumiemy wszystkiego o Bogu na podstawie ograniczonej aksjomatyki, jaką jest Biblia, a jeśli ktoś twierdzi, że zna całą prawdę, to w niektórych kwestiach może akurat mieć rację, ale jego myślenie ma gdzieś sprzeczności i przynosi więcej szkód niż dobra. Wydaje mi się, że ten wniosek dość dobrze ujmuje dwie biblijne prawdy:

A. Bóg jest niezmierzony i nigdy nie wywnioskujemy o Nim nic więcej ponad to, co pozwoli nam o sobie powiedzieć:
Iz 55: (8) Bo myśli moje, to nie myśli wasze, a drogi wasze, to nie drogi moje - mówi Pan, (9) lecz jak niebiosa są wyższe niż ziemia, tak moje drogi są wyższe niż drogi wasze i myśli moje niż myśli wasze.
 
B. Ludzie, którzy budują teologię na gdybaniu, przynoszą więcej fałszu niż ewentualnej prawdy poprzez swoje sprzeczne doktryny:
2Tym 2: (16) A pospolitej, pustej mowy unikaj, bo ci, którzy się nią posługują, będą się pogrążali w coraz większą bezbożność, (17) a nauka ich szerzyć się będzie jak zgorzel; do nich należy Hymeneusz i Filetos, (18) którzy z drogi prawdy zboczyli, powiadając, że zmartwychwstanie już się dokonało, przez co podważają wiarę niektórych.

Tak właśnie widzę duchowe twierdzenie Gödla.



* Wbrew strasznej nazwie, przechodniość relacji porządku jest rzeczą dość oczywistą dla dużej większości ludzi. Otóż, skoro mamy: A > B i B > C, czyli A > B > C, to z tego jasno wynika, że A > C, prawda? Jeśli jeszcze dołożymy zdanie D > C, to nie wiemy, gdzie je wstawić w ciąg A > B > C, gdyż mamy za mało informacji - możliwe są takie zdania prawdziwe: A > B > D > C, A > D > B > C i D > A > B > C.

** W tym przypadku wszystkie zdania prawdziwe, czyli wbrew twierdzeniu Gödla, gdybyśmy usunęli punkt (3). To dlatego, że ten przykładowy system nie zawiera w sobie aksjomatyki Peano, o której pisałem na początku: dowolna aksjomatyka, która zawiera w sobie aksjomatykę Peano i nie ma w sobie sprzeczności, jest niezupełna.

Bóg matematyk

Poeci twierdzą, że Bóg jest poetą.
Malarze - że malarzem.
Rybacy, za pewne, utrzymują, że jest rybakiem (no... albo co najmniej Jezus...)

Ja twierdzę, że Bóg jest (również) matematykiem. Uważam, że istnieje olbrzymie podobieństwo między teologią - nauką o Bogu - a matematyką; w szczególności zaś logiką, o której chcę w tym pierwszym poście napisać. W przyszłości napomknę coś o teologicznym twierdzeniu Gödla oraz opowiem Ewangelię za pomocą zbiorów liczbowych.

Po kolei.
Logika jest nauką zajmującą się regułami ścisłego wnioskowania i wyprowadzania twierdzeń. Leży ona u podstaw całej matematyki (jest to jeden z pierwszych wykładanych na studiach matematycznych przedmiotów), gdyż za jej pomocą pisze się zdania w innych dziedzinach. Nie można sformułować ani udowodnić żadnego twierdzenia bez logiki, gdyż to właśnie logika mówi, co z czego wynika (a więc co stanowi dowód czego).

Najbardziej podstawowy schemat, według którego można zbudować jakiekolwiek twierdzenie, jest następujący:
- definicje
- aksjomaty
- założenia
- teza
- dowód

Przykładowo, gdybyśmy chcieli udowodnić, że 2 + 2 = 4, musielibyśmy:
- zdefiniować symbole "2", "+", "=" i "4" (lub ogólniej: zbiory liczbowe, operator dodawania czy w ogóle algebrę);
Zdefiniujemy sobie również funkcję, którą nazwiemy next. Uporządkujemy nią zbiór liczb, na którym operujemy, tzn. funkcja ta będzie działać tak, że dla liczby n funkcja next zwróci liczbę następną po niej (lub, w uproszczeniu, next(n) = liczba następna po n ( = n + 1)).

- przyjąć pewne aksjomaty...
Aksjomat jest dzisiejszym słowem-kluczem; rzeczą, która najbardziej łączy matematykę z teologią. Matematyka jest najbardziej ścisłą nauką z samej swojej definicji, ale wbrew opinii wielu ludzi (i mojej do całkiem niedawna) nie jest hiper-obiektywna i zawsze prawdziwa... w intuicyjnym tego wyrażenia znaczeniu. Oczywiście, jeśli przestrzegamy zasad logicznego wnioskowania, to zawsze z prawdy otrzymamy prawdę, ale równie dobrze można poczynić złe założenia już u samego początku i tak naprawdę dowieść czegokolwiek - zarówno prawdziwego, jak i fałszywego. Znany jest na przykład dość prosty dowód twierdzenia "jeśli 0 = 1, to jestem papieżem", ale być może przytoczę go przy okazji tekstu o implikacji logicznej, o której dość dużo już tutaj napisałem.

Wróćmy jednak do aksjomatów. Aksjomat to inaczej pewnik, twierdzenie, które, nie udowodniwszy, przyjmujemy za prawdziwe. Różni się on od założenia tym, że jest bardziej ogólny, podstawowy, wspólny dla dużej grupy twierdzeń i w pewnym sensie nieredukowalny. Z zestawu aksjomatów wynikają wszystkie inne twierdzenia danej dziedziny matematyki.

W naszym przykładzie przyjmiemy następujące aksjomaty:
...dla dowolnych liczb naturalnych n i m mamy:
1. n + 0 = n = 0 + n
2. next(n) + m = n + next(m)
Jest to dość intuicyjne, jeśli się przyjrzy tym aksjomatom. Pierwszy w ogóle nie wymaga wyjaśnienia, zaś drugi to w dużym uproszczeniu powiedzenie, że nie ma znaczenia, z której strony dodamy jedynkę: n + 1 + m = n + m + 1;

- założyć pewne dodatkowe, lokalne dla danego twierdzenia, warunki; tych jednak w tym przypadku nie musimy wyszczególniać;

- postawić tezę - to już zrobiliśmy: 2 + 2 = 4;

- udowodnić ją;
I tu zaczyna się magia - wychodzimy od lewej strony powyższej równości i postaramy się pokazać, że da się  tylko za pomocą definicji, aksjomatów i założeń dojść do jej prawej strony:
2 + 2 = [z def.] 2 + next(1) = [z aks. 2] next(2) + 1 = [z def.] 3 + 1 = [z def.] 3 + next(0) = [z aks. 2] next(3) + 0 = [z def.] 4 + 0 = [z aks. 1] 4.
Gotowe, 2 + 2 to rzeczywiście 4...!

Dość sporo czasu i miejsca zajęło ustalenie czegoś tak przecież oczywistego, że 2 + 2 = 4. Podobnie jednak jest z teologią, w której to Bóg nie jest przedmiotem dowodu, czego to często żądają wojujący ateiści, ale jest aksjomatem. Teologia (której nie studiowałem :)) zaczyna się od "Bóg istnieje", podaje kilka innych pewników i założeń, a następnie wyprowadza z nich twierdzenia - prawdy o Bogu, które z nich wynikają.

Biblia nie podaje nigdzie dowodu na istnienie Boga, przeciwnie: Biblia zaczyna się zdaniem, że Bóg coś tworzy - a więc zakłada już z góry, że istnieje. Bóg, z którego inspiracji i natchnienia, jak wierzę, powstała Biblia, nie podaje naukowych czy stricte matematycznych dowodów na swoje istnienie w swoim Piśmie; nie sili się mocno, by ludziom wyperswadować swoją egzystencję - On po prostu jest i objawia się zgodnie ze swoją wolą. Nie sądzę zresztą, by Bóg był winny ludzkości dowodu swojej obecności - Paweł w Liście do Rzymian słusznie zauważa, że Bóg w swej dobroci dał się rozpoznać w swoim stworzeniu:

Rz 1: (18) Albowiem gniew Boży z nieba objawia się przeciwko wszelkiej bezbożności i nieprawości ludzi, którzy przez nieprawość tłumią prawdę. (19) Ponieważ to, co o Bogu wiedzieć można, jest dla nich jawne, gdyż Bóg im to objawił. (20) Bo niewidzialna jego istota, to jest wiekuista jego moc i bóstwo, mogą być od stworzenia świata oglądane w dziełach i poznane umysłem, tak iż nic nie mają na swoją obronę, (21) dlatego że poznawszy Boga, nie uwielbili go jako Boga i nie złożyli mu dziękczynienia, lecz znikczemnieli w myślach swoich, a ich nierozumne serce pogrążyło się w ciemności. (22) Mienili się mądrymi, a stali się głupi. (23) I zamienili chwałę nieśmiertelnego Boga na obrazy przedstawiające śmiertelnego człowieka, a nawet ptaki, czworonożne zwierzęta i płazy; (24) dlatego też wydał ich Bóg na łup pożądliwości ich serc ku nieczystości, aby bezcześcili ciała swoje między sobą, (25) ponieważ zamienili Boga prawdziwego na fałszywego i oddawali cześć, i służyli stworzeniu zamiast Stwórcy, który jest błogosławiony na wieki. Amen.

Oznacza to, że Bóg jest obserwowalny lub można co najmniej wysnuć wniosek, że istnieje, oglądając świat dookoła siebie. Innymi słowy, Bóg jest bytem tak oczywistym, że nie udowadnia się Jego egzystencji, ale przyjmuje jako pewnik i coś zupełnie zgodne z intuicją... tak samo zgodne, jak zgodne z intuicją jest to, że dla dowolnej liczby n mamy n + 0 = n; przecież to jasne, że jak do grupy patyków nie dorzucimy żadnego, to nadal mamy tyle, ile mieliśmy wcześniej, prawda?

Czym zatem jest ateizm, którego pośrednim celem również jest próba wyjaśnienia sensu istnienia? Ateizm odrzuca jedynie aksjomat, który przyjmują wierzący - o istnieniu Boga. Prowadzi nieuchronnie do wniosku, że świat powstał sam przez się, bez powodu, z niczego, co dla mnie osobiście jest błędem logicznym wskazującym na fałszywość ich założeń, ale o tym nie chcę teraz pisać. Jednak, czy istnieje obiektywna metoda stwierdzenia, która aksjomatyka jest... lepsza? Dlaczego założenie nie-istnienia Boga ateistów jest rzekomo bardziej racjonalne niż przeciwne założenie wierzących?

Nie da się tego, niestety, obiektywnie stwierdzić; stąd przedmiotem sporów wierzących z ateistami nie powinny być dowody, ale przyjęte subiektywne założenia. Dlaczego jednak niektórzy w naszym wszechświecie widzą podpis Stwórcy, a inni samoistne powstawanie organizmów? Swoją odpowiedź chyba znam, ale, znów, to nie temat na takie przemyślenia. Ciekawe jednak jest to, że i w doborze aksjomatyki istnieje podobieństwo z matematyką: otóż istnieje tzw. aksjomat wyboru, który jest na tyle kontrowersyjny*, że część matematyków go przyjmuje, a część nie. Istnieją zatem dwa duże oddzielne systemy aksjomatyczne, które różnią się tylko i wyłącznie tym jednym szczegółem - ostatecznie okazuje się jednak, że wiele innych twierdzeń jest uzależniona od prawdziwości lub fałszywości tegoż aksjomatu. Na przykład, przyjmując go, słynni polscy matematycy udowodnili coś ciekawego (cytuję powyżej zalinkowaną Wikipedię):

W przypadku ograniczenia się do skończonych rodzin zbiorów aksjomat wyboru jest trywialny (wynika z innych aksjomatów); zastosowany dla nieskończonych rodzin zbiorów również wydaje się intuicyjny, lecz jego konsekwencje bywają zaskakujące, np. Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z aksjomatu wyboru udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (mówiące o możliwości rozkładu kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na sześć części, z których można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule o średnicy równej średnicy kuli wyjściowej).

Czy teraz podobieństwo matematyki i teologii widać wyraźne? :)


PS
Wszystkie cytaty z Biblii na tym blogu pochodzić będą z tłumaczenia Biblii Warszawskiej, chyba że zaznaczono inaczej.


* O tak, kontrowersje w matematyce - to zawsze gwarantuje wybuchy, fajerwerki i bijatyki w klubach nocnych... :)