Bóg matematyk

Poeci twierdzą, że Bóg jest poetą.
Malarze - że malarzem.
Rybacy, za pewne, utrzymują, że jest rybakiem (no... albo co najmniej Jezus...)

Ja twierdzę, że Bóg jest (również) matematykiem. Uważam, że istnieje olbrzymie podobieństwo między teologią - nauką o Bogu - a matematyką; w szczególności zaś logiką, o której chcę w tym pierwszym poście napisać. W przyszłości napomknę coś o teologicznym twierdzeniu Gödla oraz opowiem Ewangelię za pomocą zbiorów liczbowych.

Po kolei.
Logika jest nauką zajmującą się regułami ścisłego wnioskowania i wyprowadzania twierdzeń. Leży ona u podstaw całej matematyki (jest to jeden z pierwszych wykładanych na studiach matematycznych przedmiotów), gdyż za jej pomocą pisze się zdania w innych dziedzinach. Nie można sformułować ani udowodnić żadnego twierdzenia bez logiki, gdyż to właśnie logika mówi, co z czego wynika (a więc co stanowi dowód czego).

Najbardziej podstawowy schemat, według którego można zbudować jakiekolwiek twierdzenie, jest następujący:
- definicje
- aksjomaty
- założenia
- teza
- dowód

Przykładowo, gdybyśmy chcieli udowodnić, że 2 + 2 = 4, musielibyśmy:
- zdefiniować symbole "2", "+", "=" i "4" (lub ogólniej: zbiory liczbowe, operator dodawania czy w ogóle algebrę);
Zdefiniujemy sobie również funkcję, którą nazwiemy next. Uporządkujemy nią zbiór liczb, na którym operujemy, tzn. funkcja ta będzie działać tak, że dla liczby n funkcja next zwróci liczbę następną po niej (lub, w uproszczeniu, next(n) = liczba następna po n ( = n + 1)).

- przyjąć pewne aksjomaty...
Aksjomat jest dzisiejszym słowem-kluczem; rzeczą, która najbardziej łączy matematykę z teologią. Matematyka jest najbardziej ścisłą nauką z samej swojej definicji, ale wbrew opinii wielu ludzi (i mojej do całkiem niedawna) nie jest hiper-obiektywna i zawsze prawdziwa... w intuicyjnym tego wyrażenia znaczeniu. Oczywiście, jeśli przestrzegamy zasad logicznego wnioskowania, to zawsze z prawdy otrzymamy prawdę, ale równie dobrze można poczynić złe założenia już u samego początku i tak naprawdę dowieść czegokolwiek - zarówno prawdziwego, jak i fałszywego. Znany jest na przykład dość prosty dowód twierdzenia "jeśli 0 = 1, to jestem papieżem", ale być może przytoczę go przy okazji tekstu o implikacji logicznej, o której dość dużo już tutaj napisałem.

Wróćmy jednak do aksjomatów. Aksjomat to inaczej pewnik, twierdzenie, które, nie udowodniwszy, przyjmujemy za prawdziwe. Różni się on od założenia tym, że jest bardziej ogólny, podstawowy, wspólny dla dużej grupy twierdzeń i w pewnym sensie nieredukowalny. Z zestawu aksjomatów wynikają wszystkie inne twierdzenia danej dziedziny matematyki.

W naszym przykładzie przyjmiemy następujące aksjomaty:
...dla dowolnych liczb naturalnych n i m mamy:
1. n + 0 = n = 0 + n
2. next(n) + m = n + next(m)
Jest to dość intuicyjne, jeśli się przyjrzy tym aksjomatom. Pierwszy w ogóle nie wymaga wyjaśnienia, zaś drugi to w dużym uproszczeniu powiedzenie, że nie ma znaczenia, z której strony dodamy jedynkę: n + 1 + m = n + m + 1;

- założyć pewne dodatkowe, lokalne dla danego twierdzenia, warunki; tych jednak w tym przypadku nie musimy wyszczególniać;

- postawić tezę - to już zrobiliśmy: 2 + 2 = 4;

- udowodnić ją;
I tu zaczyna się magia - wychodzimy od lewej strony powyższej równości i postaramy się pokazać, że da się  tylko za pomocą definicji, aksjomatów i założeń dojść do jej prawej strony:
2 + 2 = [z def.] 2 + next(1) = [z aks. 2] next(2) + 1 = [z def.] 3 + 1 = [z def.] 3 + next(0) = [z aks. 2] next(3) + 0 = [z def.] 4 + 0 = [z aks. 1] 4.
Gotowe, 2 + 2 to rzeczywiście 4...!

Dość sporo czasu i miejsca zajęło ustalenie czegoś tak przecież oczywistego, że 2 + 2 = 4. Podobnie jednak jest z teologią, w której to Bóg nie jest przedmiotem dowodu, czego to często żądają wojujący ateiści, ale jest aksjomatem. Teologia (której nie studiowałem :)) zaczyna się od "Bóg istnieje", podaje kilka innych pewników i założeń, a następnie wyprowadza z nich twierdzenia - prawdy o Bogu, które z nich wynikają.

Biblia nie podaje nigdzie dowodu na istnienie Boga, przeciwnie: Biblia zaczyna się zdaniem, że Bóg coś tworzy - a więc zakłada już z góry, że istnieje. Bóg, z którego inspiracji i natchnienia, jak wierzę, powstała Biblia, nie podaje naukowych czy stricte matematycznych dowodów na swoje istnienie w swoim Piśmie; nie sili się mocno, by ludziom wyperswadować swoją egzystencję - On po prostu jest i objawia się zgodnie ze swoją wolą. Nie sądzę zresztą, by Bóg był winny ludzkości dowodu swojej obecności - Paweł w Liście do Rzymian słusznie zauważa, że Bóg w swej dobroci dał się rozpoznać w swoim stworzeniu:

Rz 1: (18) Albowiem gniew Boży z nieba objawia się przeciwko wszelkiej bezbożności i nieprawości ludzi, którzy przez nieprawość tłumią prawdę. (19) Ponieważ to, co o Bogu wiedzieć można, jest dla nich jawne, gdyż Bóg im to objawił. (20) Bo niewidzialna jego istota, to jest wiekuista jego moc i bóstwo, mogą być od stworzenia świata oglądane w dziełach i poznane umysłem, tak iż nic nie mają na swoją obronę, (21) dlatego że poznawszy Boga, nie uwielbili go jako Boga i nie złożyli mu dziękczynienia, lecz znikczemnieli w myślach swoich, a ich nierozumne serce pogrążyło się w ciemności. (22) Mienili się mądrymi, a stali się głupi. (23) I zamienili chwałę nieśmiertelnego Boga na obrazy przedstawiające śmiertelnego człowieka, a nawet ptaki, czworonożne zwierzęta i płazy; (24) dlatego też wydał ich Bóg na łup pożądliwości ich serc ku nieczystości, aby bezcześcili ciała swoje między sobą, (25) ponieważ zamienili Boga prawdziwego na fałszywego i oddawali cześć, i służyli stworzeniu zamiast Stwórcy, który jest błogosławiony na wieki. Amen.

Oznacza to, że Bóg jest obserwowalny lub można co najmniej wysnuć wniosek, że istnieje, oglądając świat dookoła siebie. Innymi słowy, Bóg jest bytem tak oczywistym, że nie udowadnia się Jego egzystencji, ale przyjmuje jako pewnik i coś zupełnie zgodne z intuicją... tak samo zgodne, jak zgodne z intuicją jest to, że dla dowolnej liczby n mamy n + 0 = n; przecież to jasne, że jak do grupy patyków nie dorzucimy żadnego, to nadal mamy tyle, ile mieliśmy wcześniej, prawda?

Czym zatem jest ateizm, którego pośrednim celem również jest próba wyjaśnienia sensu istnienia? Ateizm odrzuca jedynie aksjomat, który przyjmują wierzący - o istnieniu Boga. Prowadzi nieuchronnie do wniosku, że świat powstał sam przez się, bez powodu, z niczego, co dla mnie osobiście jest błędem logicznym wskazującym na fałszywość ich założeń, ale o tym nie chcę teraz pisać. Jednak, czy istnieje obiektywna metoda stwierdzenia, która aksjomatyka jest... lepsza? Dlaczego założenie nie-istnienia Boga ateistów jest rzekomo bardziej racjonalne niż przeciwne założenie wierzących?

Nie da się tego, niestety, obiektywnie stwierdzić; stąd przedmiotem sporów wierzących z ateistami nie powinny być dowody, ale przyjęte subiektywne założenia. Dlaczego jednak niektórzy w naszym wszechświecie widzą podpis Stwórcy, a inni samoistne powstawanie organizmów? Swoją odpowiedź chyba znam, ale, znów, to nie temat na takie przemyślenia. Ciekawe jednak jest to, że i w doborze aksjomatyki istnieje podobieństwo z matematyką: otóż istnieje tzw. aksjomat wyboru, który jest na tyle kontrowersyjny*, że część matematyków go przyjmuje, a część nie. Istnieją zatem dwa duże oddzielne systemy aksjomatyczne, które różnią się tylko i wyłącznie tym jednym szczegółem - ostatecznie okazuje się jednak, że wiele innych twierdzeń jest uzależniona od prawdziwości lub fałszywości tegoż aksjomatu. Na przykład, przyjmując go, słynni polscy matematycy udowodnili coś ciekawego (cytuję powyżej zalinkowaną Wikipedię):

W przypadku ograniczenia się do skończonych rodzin zbiorów aksjomat wyboru jest trywialny (wynika z innych aksjomatów); zastosowany dla nieskończonych rodzin zbiorów również wydaje się intuicyjny, lecz jego konsekwencje bywają zaskakujące, np. Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z aksjomatu wyboru udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (mówiące o możliwości rozkładu kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na sześć części, z których można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule o średnicy równej średnicy kuli wyjściowej).

Czy teraz podobieństwo matematyki i teologii widać wyraźne? :)


PS
Wszystkie cytaty z Biblii na tym blogu pochodzić będą z tłumaczenia Biblii Warszawskiej, chyba że zaznaczono inaczej.


* O tak, kontrowersje w matematyce - to zawsze gwarantuje wybuchy, fajerwerki i bijatyki w klubach nocnych... :)